Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Решим задачу по определению типа системы линейных уравнений. Нам дана система линейных уравнений: \[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 14 \\ 3x_1 + 2x_2 + x_3 = 10 \\ x_1 + x_2 + x_3 = 6 \\ 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 5 \end{cases} \] Для того чтобы определить тип системы (совместная, несовместная, определенная, неопределенная), мы можем использовать метод Гаусса или метод Крамера (если число уравнений равно числу неизвестных). В данном случае у нас 4 уравнения и 3 неизвестных, поэтому удобнее использовать метод Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 3 & 2 & 1 & | & 10 \\ 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & 3 & -1 & | & 5 \end{pmatrix} \] Выполним элементарные преобразования строк: 1. Вычтем из второй строки первую, умноженную на 3: \(R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1\) 2. Вычтем из третьей строки первую: \(R_3 \leftarrow R_3 - R_1\) 3. Вычтем из четвертой строки первую, умноженную на 2: \(R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1\) Получим: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 2 - 3 \cdot 2 & 1 - 3 \cdot 3 & | & 10 - 3 \cdot 14 \\ 1 - 1 & 1 - 2 & 1 - 3 & | & 6 - 14 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 3 - 2 \cdot 2 & -1 - 2 \cdot 3 & | & 5 - 2 \cdot 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & -4 & -8 & | & -32 \\ 0 & -1 & -2 & | & -8 \\ 0 & -1 & -7 & | & -23 \end{pmatrix} \] Разделим вторую строку на -4: \(R_2 \leftarrow R_2 / (-4)\) \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & -1 & -2 & | & -8 \\ 0 & -1 & -7 & | & -23 \end{pmatrix} \] Теперь: 1. Прибавим к третьей строке вторую: \(R_3 \leftarrow R_3 + R_2\) 2. Прибавим к четвертой строке вторую: \(R_4 \leftarrow R_4 + R_2\) Получим: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & -1 + 1 & -2 + 2 & | & -8 + 8 \\ 0 & -1 + 1 & -7 + 2 & | & -23 + 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & -5 & | & -15 \end{pmatrix} \] Переставим третью и четвертую строки для удобства: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & 0 & -5 & | & -15 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \] Разделим третью строку на -5: \(R_3 \leftarrow R_3 / (-5)\) \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \] Теперь мы можем найти ранг основной матрицы \(A\) и ранг расширенной матрицы \(A|B\). Ранг основной матрицы \(A\) (без последнего столбца) равен 3, так как есть три ненулевые строки. Ранг расширенной матрицы \(A|B\) также равен 3. По теореме Кронекера-Капелли: Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, то система совместна (имеет решения). Если ранг равен числу неизвестных, то система определенная (имеет единственное решение). Если ранг меньше числа неизвестных, то система неопределенная (имеет бесконечно много решений). В нашем случае: Ранг \(A\) = 3 Ранг \(A|B\) = 3 Число неизвестных = 3 Так как ранг \(A\) = ранг \(A|B\) = число неизвестных = 3, то система является совместной и определенной. Найдем решение системы: Из третьей строки: \(x_3 = 3\) Из второй строки: \(x_2 + 2x_3 = 8 \Rightarrow x_2 + 2(3) = 8 \Rightarrow x_2 + 6 = 8 \Rightarrow x_2 = 2\) Из первой строки: \(x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 14 \Rightarrow x_1 + 2(2) + 3(3) = 14 \Rightarrow x_1 + 4 + 9 = 14 \Rightarrow x_1 + 13 = 14 \Rightarrow x_1 = 1\) Таким образом, система имеет единственное решение: \(x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3\). Выводы: 1. Система совместна, так как имеет решение. 2. Система определенная, так как имеет единственное решение. Следовательно, нужно выбрать варианты "определенная" и "совместная". Ответы на вопросы: 1. Система является совместной. 2. Система является определенной.