Вектор как Линейная Комбинация: Решение Задачи

Решим задачу по представлению вектора в виде линейной комбинации. Нам даны векторы: \( \vec{a} = (3; -1) \) \( \vec{b} = (1; -2) \) \( \vec{c} = (-1; 7) \) И вектор \( \vec{d} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \). Сначала найдем координаты вектора \( \vec{d} \). Для этого сложим соответствующие координаты векторов \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) и \( \vec{c} \): \( \vec{d} = (3 + 1 + (-1); -1 + (-2) + 7) \) \( \vec{d} = (3 + 1 - 1; -1 - 2 + 7) \) \( \vec{d} = (3; 4) \) Теперь нам нужно представить вектор \( \vec{d} \) в виде линейной комбинации векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \). То есть, найти такие числа \( \alpha \) и \( \beta \), чтобы выполнялось равенство: \( \vec{d} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} \) Подставим координаты векторов в это уравнение: \( (3; 4) = \alpha (3; -1) + \beta (1; -2) \) Раскроем правую часть: \( (3; 4) = (3\alpha; -\alpha) + (\beta; -2\beta) \) \( (3; 4) = (3\alpha + \beta; -\alpha - 2\beta) \) Теперь приравняем соответствующие координаты, получим систему линейных уравнений: \[ \begin{cases} 3\alpha + \beta = 3 \\ -\alpha - 2\beta = 4 \end{cases} \] Решим эту систему. Из первого уравнения выразим \( \beta \): \( \beta = 3 - 3\alpha \) Подставим это выражение для \( \beta \) во второе уравнение: \( -\alpha - 2(3 - 3\alpha) = 4 \) \( -\alpha - 6 + 6\alpha = 4 \) \( 5\alpha - 6 = 4 \) \( 5\alpha = 4 + 6 \) \( 5\alpha = 10 \) \( \alpha = \frac{10}{5} \) \( \alpha = 2 \) Теперь найдем \( \beta \), подставив значение \( \alpha = 2 \) в выражение для \( \beta \): \( \beta = 3 - 3\alpha \) \( \beta = 3 - 3(2) \) \( \beta = 3 - 6 \) \( \beta = -3 \) Итак, мы нашли значения \( \alpha = 2 \) и \( \beta = -3 \). Проверим полученные значения: \( \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} = 2(3; -1) + (-3)(1; -2) \) \( = (2 \cdot 3; 2 \cdot (-1)) + ((-3) \cdot 1; (-3) \cdot (-2)) \) \( = (6; -2) + (-3; 6) \) \( = (6 - 3; -2 + 6) \) \( = (3; 4) \) Это совпадает с вектором \( \vec{d} \). Среди предложенных вариантов ответов: * \( \alpha = 2, \beta = -3 \) * \( \alpha = 3, \beta = -2 \) * \( \alpha = 2, \beta = 3 \) * \( \alpha = -2, \beta = 3 \) Наш результат \( \alpha = 2, \beta = -3 \) соответствует первому варианту. Ответ: \( \alpha = 2, \beta = -3 \).