Решение:

Решим задачу, используя свойства векторов и скалярного произведения. Нам дано: 1. Сумма векторов равна нулевому вектору: \( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0} \) 2. Длины векторов: \( |\vec{a}| = 3 \) \( |\vec{b}| = 1 \) \( |\vec{c}| = 4 \) Нам нужно найти значение выражения: \( \vec{a}\vec{b} + \vec{b}\vec{c} + \vec{c}\vec{a} \). Здесь \( \vec{a}\vec{b} \) обозначает скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \). Воспользуемся первым условием: \( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0} \). Возведем обе части этого равенства в квадрат (то есть, найдем скалярное произведение вектора на самого себя): \( (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0} \) Раскроем левую часть, используя свойство дистрибутивности скалярного произведения: \( \vec{a}\vec{a} + \vec{a}\vec{b} + \vec{a}\vec{c} + \vec{b}\vec{a} + \vec{b}\vec{b} + \vec{b}\vec{c} + \vec{c}\vec{a} + \vec{c}\vec{b} + \vec{c}\vec{c} = 0 \) Мы знаем, что: * Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины: \( \vec{x}\vec{x} = |\vec{x}|^2 \) * Скалярное произведение коммутативно: \( \vec{x}\vec{y} = \vec{y}\vec{x} \) Применим эти свойства: \( |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a}\vec{b}) + 2(\vec{b}\vec{c}) + 2(\vec{c}\vec{a}) = 0 \) Теперь подставим известные длины векторов: \( |\vec{a}|^2 = 3^2 = 9 \) \( |\vec{b}|^2 = 1^2 = 1 \) \( |\vec{c}|^2 = 4^2 = 16 \) Подставим эти значения в уравнение: \( 9 + 1 + 16 + 2(\vec{a}\vec{b} + \vec{b}\vec{c} + \vec{c}\vec{a}) = 0 \) Сложим числа: \( 26 + 2(\vec{a}\vec{b} + \vec{b}\vec{c} + \vec{c}\vec{a}) = 0 \) Теперь выразим искомую сумму скалярных произведений: \( 2(\vec{a}\vec{b} + \vec{b}\vec{c} + \vec{c}\vec{a}) = -26 \) \( \vec{a}\vec{b} + \vec{b}\vec{c} + \vec{c}\vec{a} = \frac{-26}{2} \) \( \vec{a}\vec{b} + \vec{b}\vec{c} + \vec{c}\vec{a} = -13 \) Таким образом, значение выражения равно -13. Ответ: -13.