Решение задач по Теореме Пифагора: Вариант 5

Вот решения задач из вашей самостоятельной работы. Самостоятельная работа по теме «Теорема Пифагора» Вариант 5 1. Найдите гипотенузу, если катеты равны 2 см и 5 см. Решение: Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(a\) и \(b\), а гипотенуза равна \(c\). По теореме Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\). Дано: \(a = 2\) см, \(b = 5\) см. Подставим значения в формулу: \(2^2 + 5^2 = c^2\) \(4 + 25 = c^2\) \(29 = c^2\) \(c = \sqrt{29}\) см. Ответ: Гипотенуза равна \(\sqrt{29}\) см. 2. Найдите катет, если гипотенуза равна 8 см, а второй катет равен 3 см. Решение: Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника равна \(c\), а катеты равны \(a\) и \(b\). По теореме Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\). Дано: \(c = 8\) см, \(b = 3\) см. Нам нужно найти катет \(a\). Выразим его из формулы: \(a^2 = c^2 - b^2\) Подставим значения: \(a^2 = 8^2 - 3^2\) \(a^2 = 64 - 9\) \(a^2 = 55\) \(a = \sqrt{55}\) см. Ответ: Катет равен \(\sqrt{55}\) см. 3. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 6 см и 8 см. Решение: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Пусть диагонали ромба равны \(d_1\) и \(d_2\). Дано: \(d_1 = 6\) см, \(d_2 = 8\) см. Половины диагоналей будут: \(d_1/2 = 6/2 = 3\) см \(d_2/2 = 8/2 = 4\) см Эти половины диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник, где сторона ромба является гипотенузой. Пусть сторона ромба равна \(a\). По теореме Пифагора: \((d_1/2)^2 + (d_2/2)^2 = a^2\) \(3^2 + 4^2 = a^2\) \(9 + 16 = a^2\) \(25 = a^2\) \(a = \sqrt{25}\) \(a = 5\) см. Ответ: Сторона ромба равна 5 см. 4. Найдите диагональ прямоугольника со сторонами 5 см и 4 см. Решение: Пусть стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\), а диагональ равна \(d\). Стороны прямоугольника и его диагональ образуют прямоугольный треугольник, где диагональ является гипотенузой. Дано: \(a = 5\) см, \(b = 4\) см. По теореме Пифагора: \(a^2 + b^2 = d^2\) \(5^2 + 4^2 = d^2\) \(25 + 16 = d^2\) \(41 = d^2\) \(d = \sqrt{41}\) см. Ответ: Диагональ прямоугольника равна \(\sqrt{41}\) см. 5. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 7 см, а основание – 4 см. Решение: Для нахождения площади треугольника нам нужна высота. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, делит его пополам. Пусть боковая сторона \(b = 7\) см, основание \(a = 4\) см. Половина основания будет \(a/2 = 4/2 = 2\) см. Высота \(h\) образует прямоугольный треугольник с половиной основания и боковой стороной (гипотенузой). По теореме Пифагора: \((a/2)^2 + h^2 = b^2\) \(2^2 + h^2 = 7^2\) \(4 + h^2 = 49\) \(h^2 = 49 - 4\) \(h^2 = 45\) \(h = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\) см. Площадь треугольника \(S\) вычисляется по формуле: \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\) \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\) \(S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3\sqrt{5}\) \(S = 2 \cdot 3\sqrt{5}\) \(S = 6\sqrt{5}\) см\(^2\). Ответ: Площадь равнобедренного треугольника равна \(6\sqrt{5}\) см\(^2\). 6. Найдите высоту равнобокой трапеции с основаниями 6 см и 14 см, если боковая сторона равна 5 см. Решение: Пусть основания трапеции \(a = 14\) см и \(b = 6\) см. Боковая сторона \(c = 5\) см. В равнобокой трапеции, если опустить высоты из вершин меньшего основания на большее основание, то большее основание разделится на три отрезка. Два крайних отрезка будут равны. Длина каждого из этих крайних отрезков \(x\) вычисляется по формуле: \(x = \frac{a - b}{2}\) \(x = \frac{14 - 6}{2}\) \(x = \frac{8}{2}\) \(x = 4\) см. Высота трапеции \(h\), боковая сторона \(c\) и отрезок \(x\) образуют прямоугольный треугольник, где боковая сторона является гипотенузой. По теореме Пифагора: \(x^2 + h^2 = c^2\) \(4^2 + h^2 = 5^2\) \(16 + h^2 = 25\) \(h^2 = 25 - 16\) \(h^2 = 9\) \(h = \sqrt{9}\) \(h = 3\) см. Ответ: Высота равнобокой трапеции равна 3 см.