Решение задачи: уравнение плоскости

Решим задачу по нахождению уравнения плоскости. Нам нужно найти уравнение плоскости, которая: 1. Проходит через точку \( M_0(2; 2; -2) \). 2. Параллельна плоскости, заданной уравнением \( x - 2y - 3z = 0 \). Ключевое свойство параллельных плоскостей заключается в том, что их нормальные векторы коллинеарны. Это означает, что нормальный вектор искомой плоскости можно взять таким же, как нормальный вектор данной плоскости. Уравнение данной плоскости: \( x - 2y - 3z = 0 \). Из этого уравнения мы можем определить нормальный вектор \( \vec{n} \) этой плоскости. Коэффициенты при \( x, y, z \) являются координатами нормального вектора. Значит, \( \vec{n} = (1; -2; -3) \). Поскольку искомая плоскость параллельна данной, ее нормальный вектор также будет \( \vec{n} = (1; -2; -3) \). Общее уравнение плоскости имеет вид: \( Ax + By + Cz + D = 0 \) Где \( (A; B; C) \) - это координаты нормального вектора. Подставим координаты нормального вектора \( (1; -2; -3) \): \( 1x - 2y - 3z + D = 0 \) или \( x - 2y - 3z + D = 0 \) Теперь нам нужно найти значение \( D \). Мы знаем, что плоскость проходит через точку \( M_0(2; 2; -2) \). Это означает, что координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости. Подставим \( x=2, y=2, z=-2 \) в уравнение: \( 2 - 2(2) - 3(-2) + D = 0 \) \( 2 - 4 + 6 + D = 0 \) \( -2 + 6 + D = 0 \) \( 4 + D = 0 \) \( D = -4 \) Теперь подставим найденное значение \( D \) обратно в уравнение плоскости: \( x - 2y - 3z - 4 = 0 \) Это и есть искомое уравнение плоскости. Сравним наш результат с предложенными вариантами: * \( x + y + 3z - 4 = 0 \) * \( 2x + y - z + 6 = 0 \) * \( x - 2y - 3z - 4 = 0 \) * \( x + y - z - 7 = 0 \) Наш результат совпадает с третьим вариантом. Ответ: \( x - 2y - 3z - 4 = 0 \)