Задача №5
Чему будет равен определитель третьего порядка матрицы:
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \]Решение:
Для вычисления определителя матрицы третьего порядка можно использовать правило Саррюса (правило треугольника) или разложение по строке/столбцу.
Воспользуемся правилом Саррюса. Для этого мысленно допишем первые два столбца матрицы справа:
\[ \begin{array}{ccc|cc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -1 \end{array} \]Определитель будет равен сумме произведений элементов по главным диагоналям (слева направо, сверху вниз) минус сумма произведений элементов по побочным диагоналям (справа налево, сверху вниз).
1. Произведения по главным диагоналям:
- \(1 \cdot 0 \cdot 0 = 0\)
- \(1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\)
- \(1 \cdot 1 \cdot (-1) = -1\)
Сумма этих произведений: \(0 + 1 + (-1) = 0\).
2. Произведения по побочным диагоналям:
- \(1 \cdot 0 \cdot 1 = 0\)
- \(1 \cdot 1 \cdot (-1) = -1\)
- \(1 \cdot 1 \cdot 0 = 0\)
Сумма этих произведений: \(0 + (-1) + 0 = -1\).
3. Вычисляем определитель:
Определитель = (Сумма произведений по главным диагоналям) - (Сумма произведений по побочным диагоналям)
Определитель = \(0 - (-1) = 0 + 1 = 1\).
Ответ:
Определитель матрицы равен \(1\).
Среди предложенных вариантов ответов:
1. (-1)
2. 1
3. 0
4. 2
Правильный вариант ответа: 2 (1).