Решение задачи из контрольной работы по математике 10 класс

Хорошо, давайте решим задачи из контрольной работы. Контрольная работа за 1 полугодие по математике в 10 классе 2 вариант Часть 1 Модуль «Алгебра» А1. Найдите значение выражения: \((1,2 + 2,3) \cdot 23\). Решение: Сначала выполним сложение в скобках: \(1,2 + 2,3 = 3,5\) Затем умножим полученный результат на 23: \(3,5 \cdot 23 = 80,5\) Ответ: 80,5 А2. Найдите значение выражения: \(\frac{3^{4} \cdot 5^{5}}{15^{4}}\). Решение: Мы можем переписать \(15^4\) как \((3 \cdot 5)^4 = 3^4 \cdot 5^4\). Тогда выражение примет вид: \[ \frac{3^{4} \cdot 5^{5}}{3^{4} \cdot 5^{4}} \] Сократим \(3^4\) в числителе и знаменателе: \[ \frac{5^{5}}{5^{4}} \] Используя свойство степеней \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\), получаем: \(5^{5-4} = 5^1 = 5\) Ответ: 5 А3. Извлечь корень: \(\sqrt[5]{32x^{10}y^{5}}\). Решение: Используем свойство корней \(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\) и \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\). \[ \sqrt[5]{32x^{10}y^{5}} = \sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{x^{10}} \cdot \sqrt[5]{y^{5}} \] Найдем \(\sqrt[5]{32}\): так как \(2^5 = 32\), то \(\sqrt[5]{32} = 2\). Найдем \(\sqrt[5]{x^{10}}\): \(x^{\frac{10}{5}} = x^2\). Найдем \(\sqrt[5]{y^{5}}\): \(y^{\frac{5}{5}} = y^1 = y\). Собираем все вместе: \(2x^2y\) Ответ: \(2x^2y\) А4. Найдите значение выражения: \(3^{2 - \sqrt{5}} \cdot 9^{\sqrt{5}}\). Решение: Мы знаем, что \(9 = 3^2\). Подставим это в выражение: \[ 3^{2 - \sqrt{5}} \cdot (3^2)^{\sqrt{5}} \] Используем свойство степеней \((a^m)^n = a^{mn}\): \[ 3^{2 - \sqrt{5}} \cdot 3^{2\sqrt{5}} \] Теперь используем свойство степеней \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \[ 3^{(2 - \sqrt{5}) + 2\sqrt{5}} \] Сложим показатели степени: \(2 - \sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 2 + \sqrt{5}\) Таким образом, выражение равно: \(3^{2 + \sqrt{5}}\) Ответ: \(3^{2 + \sqrt{5}}\) А5. Найдите корень уравнения: \(3^{x-3} = 81\). Решение: Мы знаем, что \(81 = 3^4\). Подставим это в уравнение: \(3^{x-3} = 3^4\) Если основания степеней равны, то и показатели степени должны быть равны: \(x - 3 = 4\) Прибавим 3 к обеим частям уравнения: \(x = 4 + 3\) \(x = 7\) Ответ: 7 Модуль «Геометрия» А6. Какие из следующих утверждений верны? а) Через любые три точки проходит плоскость и притом только одна. б) Если две точки прямой лежат в одной плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. в) Через прямую и точку, лежащую на ней, проходит единственная плоскость. г) Нельзя провести плоскость через две параллельные прямые. В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Решение: Рассмотрим каждое утверждение: а) Через любые три точки проходит плоскость и притом только одна. Это утверждение не всегда верно. Если три точки лежат на одной прямой (коллинеарны), то через них проходит бесконечно много плоскостей. Если точки не коллинеарны, то через них проходит единственная плоскость. Поэтому утверждение в целом неверно. б) Если две точки прямой лежат в одной плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Это одно из основных аксиом геометрии. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Это утверждение верно. в) Через прямую и точку, лежащую на ней, проходит единственная плоскость. Если точка лежит на прямой, то эта прямая и точка не определяют единственную плоскость. Через прямую и любую точку на ней можно провести бесконечно много плоскостей. Для определения единственной плоскости нужна прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Поэтому утверждение неверно. г) Нельзя провести плоскость через две параллельные прямые. Это утверждение неверно. Через две параллельные прямые всегда можно провести единственную плоскость. Таким образом, верным является только утверждение б). Ответ: б А7. Какое из ребер в основании параллелепипеда пересекается с прямой KL? (На рисунке изображен параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) и прямая \(KL\), где \(K\) лежит на \(A_1B_1\), а \(L\) на \(B_1C_1\). Прямая \(KL\) находится в плоскости \(A_1B_1C_1D_1\).) Решение: Прямая \(KL\) лежит в верхней грани параллелепипеда \(A_1B_1C_1D_1\). Основанием параллелепипеда является грань \(ABCD\). Прямая \(KL\) не пересекается ни с одним ребром основания, так как она лежит в плоскости, параллельной плоскости основания. Прямая \(KL\) и плоскость основания \(ABCD\) параллельны. Ответ: Никакое А8. Определите сумму всех ребер, если это правильный тетраэдр и длина его ребра равна 4 см. (На рисунке изображен тетраэдр.) Решение: Правильный тетраэдр - это многогранник, у которого все грани являются равносторонними треугольниками. У тетраэдра 4 грани, 6 ребер и 4 вершины. Все ребра правильного тетраэдра имеют одинаковую длину. Длина одного ребра равна 4 см. Количество ребер равно 6. Сумма длин всех ребер равна: \(6 \cdot 4 \text{ см} = 24 \text{ см}\) Ответ: 24 см Часть 2 Модуль «Алгебра» В1. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x - 2y = 3 \\ 3x^2 - 2xy + y^2 = 6 \end{cases} \] Решение: Из первого уравнения выразим \(x\) через \(y\): \(x = 3 + 2y\) Подставим это выражение для \(x\) во второе уравнение: \(3(3 + 2y)^2 - 2(3 + 2y)y + y^2 = 6\) Раскроем скобки: \(3(9 + 12y + 4y^2) - (6y + 4y^2) + y^2 = 6\) \(27 + 36y + 12y^2 - 6y - 4y^2 + y^2 = 6\) Приведем подобные слагаемые: Для \(y^2\): \(12y^2 - 4y^2 + y^2 = 9y^2\) Для \(y\): \(36y - 6y = 30y\) Для констант: \(27\) Получаем квадратное уравнение: \(9y^2 + 30y + 27 = 6\) Перенесем 6 в левую часть: \(9y^2 + 30y + 27 - 6 = 0\) \(9y^2 + 30y + 21 = 0\) Разделим все уравнение на 3, чтобы упростить: \(3y^2 + 10y + 7 = 0\) Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\): \(a = 3\), \(b = 10\), \(c = 7\) \(D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7\) \(D = 100 - 84\) \(D = 16\) Найдем корни \(y\): \(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) \(y_1 = \frac{-10 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1\) \(y_2 = \frac{-10 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 - 4}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}\) Теперь найдем соответствующие значения \(x\) для каждого \(y\), используя \(x = 3 + 2y\). Для \(y_1 = -1\): \(x_1 = 3 + 2(-1) = 3 - 2 = 1\) Первое решение: \((1; -1)\) Для \(y_2 = -\frac{7}{3}\): \(x_2 = 3 + 2\left(-\frac{7}{3}\right) = 3 - \frac{14}{3} = \frac{9}{3} - \frac{14}{3} = -\frac{5}{3}\) Второе решение: \(\left(-\frac{5}{3}; -\frac{7}{3}\right)\) Ответ: \((1; -1)\) и \(\left(-\frac{5}{3}; -\frac{7}{3}\right)\)