Решение контрольной работы №3 по алгебре 9 класс (Макарычев)

Хорошо, давайте решим задачи из контрольной работы по алгебре 9 класса.

АЛГЕБРА 9 КЛАСС (УМК МАКАРЫЧЕВ) КОНТРОЛЬНАЯ № 3. ВАРИАНТ 1

Вариант 1

1. Решите уравнение:

а) \(x^3 - 81x = 0\)

Решение: Вынесем общий множитель \(x\) за скобки: \(x(x^2 - 81) = 0\) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, \(x = 0\) или \(x^2 - 81 = 0\).

Рассмотрим второе уравнение: \(x^2 - 81 = 0\) \(x^2 = 81\) \(x = \sqrt{81}\) или \(x = -\sqrt{81}\) \(x = 9\) или \(x = -9\)

Ответ: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 9\), \(x_3 = -9\).

б) \(\frac{x^2 + 1}{5} - \frac{x + 1}{4} = 1\)

Решение: Чтобы избавиться от дробей, умножим все части уравнения на наименьший общий знаменатель чисел 5 и 4, то есть на 20. \(20 \cdot \frac{x^2 + 1}{5} - 20 \cdot \frac{x + 1}{4} = 20 \cdot 1\) \(4(x^2 + 1) - 5(x + 1) = 20\) Раскроем скобки: \(4x^2 + 4 - 5x - 5 = 20\) Приведем подобные слагаемые: \(4x^2 - 5x - 1 = 20\) Перенесем 20 в левую часть уравнения: \(4x^2 - 5x - 1 - 20 = 0\) \(4x^2 - 5x - 21 = 0\)

Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 4\), \(b = -5\), \(c = -21\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-21)\) \(D = 25 - 16 \cdot (-21)\) \(D = 25 + 336\) \(D = 361\)

Найдем корни уравнения по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{361}}{2 \cdot 4}\) \(x_1 = \frac{5 + 19}{8}\) \(x_1 = \frac{24}{8}\) \(x_1 = 3\)

\(x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{361}}{2 \cdot 4}\) \(x_2 = \frac{5 - 19}{8}\) \(x_2 = \frac{-14}{8}\) \(x_2 = -\frac{7}{4}\) \(x_2 = -1.75\)

Ответ: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -1.75\).

2. Решите биквадратное уравнение \(x^4 - 19x^2 + 48 = 0\).

Решение: Введем замену переменной. Пусть \(y = x^2\). Тогда \(y^2 = (x^2)^2 = x^4\). Подставим \(y\) в уравнение: \(y^2 - 19y + 48 = 0\)

Это квадратное уравнение вида \(ay^2 + by + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = -19\), \(c = 48\). Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac\) \(D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48\) \(D = 361 - 192\) \(D = 169\)

Найдем корни для \(y\): \(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) \(y_1 = \frac{-(-19) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1}\) \(y_1 = \frac{19 + 13}{2}\) \(y_1 = \frac{32}{2}\) \(y_1 = 16\)

\(y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\) \(y_2 = \frac{-(-19) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1}\) \(y_2 = \frac{19 - 13}{2}\) \(y_2 = \frac{6}{2}\) \(y_2 = 3\)

Теперь вернемся к замене \(y = x^2\): Случай 1: \(x^2 = y_1\) \(x^2 = 16\) \(x = \sqrt{16}\) или \(x = -\sqrt{16}\) \(x_1 = 4\) или \(x_2 = -4\)

Случай 2: \(x^2 = y_2\) \(x^2 = 3\) \(x = \sqrt{3}\) или \(x = -\sqrt{3}\) \(x_3 = \sqrt{3}\) или \(x_4 = -\sqrt{3}\)

Ответ: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -4\), \(x_3 = \sqrt{3}\), \(x_4 = -\sqrt{3}\).

3. При каких \(a\) значение дроби \(\frac{a^3 - 2a^2 - 9a + 18}{a^2 - 4}\) равно нулю?

Решение: Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Сначала найдем значения \(a\), при которых числитель равен нулю: \(a^3 - 2a^2 - 9a + 18 = 0\) Сгруппируем слагаемые: \((a^3 - 2a^2) - (9a - 18) = 0\) Вынесем общие множители из каждой группы: \(a^2(a - 2) - 9(a - 2) = 0\) Вынесем общий множитель \((a - 2)\): \((a - 2)(a^2 - 9) = 0\) Разложим \(a^2 - 9\) как разность квадратов \((a - 3)(a + 3)\): \((a - 2)(a - 3)(a + 3) = 0\) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(a - 2 = 0 \Rightarrow a_1 = 2\) \(a - 3 = 0 \Rightarrow a_2 = 3\) \(a + 3 = 0 \Rightarrow a_3 = -3\)

Теперь проверим, при каких из этих значений знаменатель \(a^2 - 4\) не равен нулю. Знаменатель равен нулю, когда \(a^2 - 4 = 0\), то есть \(a^2 = 4\), откуда \(a = 2\) или \(a = -2\).

Сравним найденные значения \(a\) для числителя с значениями, при которых знаменатель равен нулю: 1. \(a_1 = 2\). При этом значении знаменатель \(a^2 - 4 = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0\). Так как знаменатель равен нулю, дробь не определена, а не равна нулю. Значит, \(a = 2\) не является решением. 2. \(a_2 = 3\). При этом значении знаменатель \(a^2 - 4 = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \neq 0\). Это значение подходит. 3. \(a_3 = -3\). При этом значении знаменатель \(a^2 - 4 = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \neq 0\). Это значение подходит.

Ответ: Значение дроби равно нулю при \(a = 3\) и \(a = -3\).

4. Решите уравнение:

а) \(\frac{3y + 2}{4y^2 + y} + \frac{y - 3}{16y^2 - 1} = \frac{3}{4y - 1}\)

Решение: Сначала разложим знаменатели на множители: \(4y^2 + y = y(4y + 1)\) \(16y^2 - 1 = (4y)^2 - 1^2 = (4y - 1)(4y + 1)\) \(4y - 1\)

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями: \(\frac{3y + 2}{y(4y + 1)} + \frac{y - 3}{(4y - 1)(4y + 1)} = \frac{3}{4y - 1}\)

Общий знаменатель для всех дробей: \(y(4y + 1)(4y - 1)\). Ограничения на \(y\): \(y \neq 0\) \(4y + 1 \neq 0 \Rightarrow y \neq -\frac{1}{4}\) \(4y - 1 \neq 0 \Rightarrow y \neq \frac{1}{4}\)

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \(y(4y + 1)(4y - 1)\): \((3y + 2)(4y - 1) + (y - 3)y = 3y(4y + 1)\) Раскроем скобки: \((12y^2 - 3y + 8y - 2) + (y^2 - 3y) = 12y^2 + 3y\) \(12y^2 + 5y - 2 + y^2 - 3y = 12y^2 + 3y\) Приведем подобные слагаемые в левой части: \(13y^2 + 2y - 2 = 12y^2 + 3y\) Перенесем все слагаемые в левую часть: \(13y^2 - 12y^2 + 2y - 3y - 2 = 0\) \(y^2 - y - 2 = 0\)

Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)\) \(D = 1 + 8\) \(D = 9\)

Найдем корни для \(y\): \(y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}\) \(y_1 = \frac{1 + 3}{2}\) \(y_1 = \frac{4}{2}\) \(y_1 = 2\)

\(y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}\) \(y_2 = \frac{1 - 3}{2}\) \(y_2 = \frac{-2}{2}\) \(y_2 = -1\)

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ограничениям: Для \(y_1 = 2\): \(2 \neq 0\), \(4(2) + 1 = 9 \neq 0\), \(4(2) - 1 = 7 \neq 0\). Подходит. Для \(y_2 = -1\): \(-1 \neq 0\), \(4(-1) + 1 = -3 \neq 0\), \(4(-1) - 1 = -5 \neq 0\). Подходит.

Ответ: \(y_1 = 2\), \(y_2 = -1\).

б) \((x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x - 9) = 171\)

Решение: Введем замену переменной. Пусть \(t = x^2 + 3x\). Тогда уравнение примет вид: \((t + 1)(t - 9) = 171\) Раскроем скобки: \(t^2 - 9t + t - 9 = 171\) \(t^2 - 8t - 9 = 171\) Перенесем 171 в левую часть: \(t^2 - 8t - 9 - 171 = 0\) \(t^2 - 8t - 180 = 0\)

Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180)\) \(D = 64 + 720\) \(D = 784\) \(\sqrt{784} = 28\)

Найдем корни для \(t\): \(t_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{784}}{2 \cdot 1}\) \(t_1 = \frac{8 + 28}{2}\) \(t_1 = \frac{36}{2}\) \(t_1 = 18\)

\(t_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{784}}{2 \cdot 1}\) \(t_2 = \frac{8 - 28}{2}\) \(t_2 = \frac{-20}{2}\) \(t_2 = -10\)

Теперь вернемся к замене \(t = x^2 + 3x\): Случай 1: \(x^2 + 3x = t_1\) \(x^2 + 3x = 18\) \(x^2 + 3x - 18 = 0\) Найдем дискриминант для этого уравнения: \(D_1 = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18)\) \(D_1 = 9 + 72\) \(D_1 = 81\) \(\sqrt{81} = 9\)

Найдем корни для \(x\): \(x_1 = \frac{-3 + 9}{2}\) \(x_1 = \frac{6}{2}\) \(x_1 = 3\)

\(x_2 = \frac{-3 - 9}{2}\) \(x_2 = \frac{-12}{2}\) \(x_2 = -6\)

Случай 2: \(x^2 + 3x = t_2\) \(x^2 + 3x = -10\) \(x^2 + 3x + 10 = 0\) Найдем дискриминант для этого уравнения: \(D_2 = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10\) \(D_2 = 9 - 40\) \(D_2 = -31\) Так как \(D_2 < 0\), это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -6\).

5. Найдите координаты точек пересечения графиков функций \(y = \frac{x^3}{x - 2}\) и \(y = x^2 - 3x + 1\).

Решение: Чтобы найти точки пересечения графиков, нужно приравнять правые части уравнений функций: \(\frac{x^3}{x - 2} = x^2 - 3x + 1\)

Ограничение на \(x\): \(x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2\).

Умножим обе части уравнения на \((x - 2)\): \(x^3 = (x^2 - 3x + 1)(x - 2)\) Раскроем скобки в правой части: \(x^3 = x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-2) - 3x \cdot x - 3x \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2)\) \(x^3 = x^3 - 2x^2 - 3x^2 + 6x + x - 2\) Приведем подобные слагаемые в правой части: \(x^3 = x^3 - 5x^2 + 7x - 2\)

Перенесем все слагаемые в одну сторону (например, в левую): \(x^3 - x^3 + 5x^2 - 7x + 2 = 0\) \(5x^2 - 7x + 2 = 0\)

Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2\) \(D = 49 - 40\) \(D = 9\)

Найдем корни для \(x\): \(x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 5}\) \(x_1 = \frac{7 + 3}{10}\) \(x_1 = \frac{10}{10}\) \(x_1 = 1\)

\(x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 5}\) \(x_2 = \frac{7 - 3}{10}\) \(x_2 = \frac{4}{10}\) \(x_2 = \frac{2}{5}\) \(x_2 = 0.4\)

Оба найденных значения \(x\) не равны 2, поэтому они подходят. Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждой точки, используя любое из исходных уравнений (например, \(y = x^2 - 3x + 1\)).

Для \(x_1 = 1\): \(y_1 = 1^2 - 3 \cdot 1 + 1\) \(y_1 = 1 - 3 + 1\) \(y_1 = -1\) Первая точка пересечения: \((1; -1)\).

Для \(x_2 = 0.4\): \(y_2 = (0.4)^2 - 3 \cdot 0.4 + 1\) \(y_2 = 0.16 - 1.2 + 1\) \(y_2 = -1.04 + 1\) \(y_2 = -0.04\) Вторая точка пересечения: \((0.4; -0.04)\).

Ответ: Координаты точек пересечения графиков: \((1; -1)\) и \((0.4; -0.04)\).