Задача 433. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) \(\frac{4}{\sqrt{3} + 1}\)
Решение:
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для \(\sqrt{3} + 1\) является \(\sqrt{3} - 1\).
\[\frac{4}{\sqrt{3} + 1} = \frac{4 \cdot (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) \cdot (\sqrt{3} - 1)}\]Используем формулу разности квадратов: \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\).
\[\frac{4 \cdot (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{4(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{4(\sqrt{3} - 1)}{2}\]Сократим дробь на 2:
\[\frac{4(\sqrt{3} - 1)}{2} = 2(\sqrt{3} - 1) = 2\sqrt{3} - 2\]Ответ: \(2\sqrt{3} - 2\)
б) \(\frac{1}{1 - \sqrt{2}}\)
Решение:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение для \(1 - \sqrt{2}\), то есть на \(1 + \sqrt{2}\).
\[\frac{1}{1 - \sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (1 + \sqrt{2})}{(1 - \sqrt{2}) \cdot (1 + \sqrt{2})}\]Используем формулу разности квадратов:
\[\frac{1 + \sqrt{2}}{1^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{1 + \sqrt{2}}{1 - 2} = \frac{1 + \sqrt{2}}{-1}\]Разделим на -1:
\[\frac{1 + \sqrt{2}}{-1} = -(1 + \sqrt{2}) = -1 - \sqrt{2}\]Ответ: \(-1 - \sqrt{2}\)
в) \(\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}\)
Решение:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение для \(\sqrt{x} - \sqrt{y}\), то есть на \(\sqrt{x} + \sqrt{y}\).
\[\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y})}\]Используем формулу разности квадратов:
\[\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{x - y}\]Ответ: \(\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{x - y}\)
г) \(\frac{a}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\)
Решение:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение для \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\), то есть на \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\).
\[\frac{a}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{a \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}\]Используем формулу разности квадратов:
\[\frac{a(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{a(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b}\]Ответ: \(\frac{a(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b}\)
д) \(\frac{33}{7 - 3\sqrt{3}}\)
Решение:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение для \(7 - 3\sqrt{3}\), то есть на \(7 + 3\sqrt{3}\).
\[\frac{33}{7 - 3\sqrt{3}} = \frac{33 \cdot (7 + 3\sqrt{3})}{(7 - 3\sqrt{3}) \cdot (7 + 3\sqrt{3})}\]Используем формулу разности квадратов:
\[\frac{33(7 + 3\sqrt{3})}{7^2 - (3\sqrt{3})^2} = \frac{33(7 + 3\sqrt{3})}{49 - (3^2 \cdot (\sqrt{3})^2)} = \frac{33(7 + 3\sqrt{3})}{49 - (9 \cdot 3)}\] \[= \frac{33(7 + 3\sqrt{3})}{49 - 27} = \frac{33(7 + 3\sqrt{3})}{22}\]Сократим дробь на 11:
\[\frac{33(7 + 3\sqrt{3})}{22} = \frac{3(7 + 3\sqrt{3})}{2} = \frac{21 + 9\sqrt{3}}{2}\]Ответ: \(\frac{21 + 9\sqrt{3}}{2}\)
е) \(\frac{15}{2\sqrt{5} + 5}\)
Решение:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение для \(2\sqrt{5} + 5\), то есть на \(2\sqrt{5} - 5\).
\[\frac{15}{2\sqrt{5} + 5} = \frac{15 \cdot (2\sqrt{5} - 5)}{(2\sqrt{5} + 5) \cdot (2\sqrt{5} - 5)}\]Используем формулу разности квадратов:
\[\frac{15(2\sqrt{5} - 5)}{(2\sqrt{5})^2 - 5^2} = \frac{15(2\sqrt{5} - 5)}{(2^2 \cdot (\sqrt{5})^2) - 25} = \frac{15(2\sqrt{5} - 5)}{(4 \cdot 5) - 25}\] \[= \frac{15(2\sqrt{5} - 5)}{20 - 25} = \frac{15(2\sqrt{5} - 5)}{-5}\]Сократим дробь на 5:
\[\frac{15(2\sqrt{5} - 5)}{-5} = -3(2\sqrt{5} - 5) = -6\sqrt{5} + 15\]Ответ: \(15 - 6\sqrt{5}\)
Задача 434. Докажите, что значение выражения:
а) \(\frac{1}{3\sqrt{3} - 4} - \frac{1}{3\sqrt{3} + 4}\) есть число рациональное;
Решение:
Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет произведением знаменателей, которое является разностью квадратов.
\[\frac{1}{3\sqrt{3} - 4} - \frac{1}{3\sqrt{3} + 4} = \frac{1 \cdot (3\sqrt{3} + 4)}{(3\sqrt{3} - 4)(3\sqrt{3} + 4)} - \frac{1 \cdot (3\sqrt{3} - 4)}{(3\sqrt{3} + 4)(3\sqrt{3} - 4)}\] \[= \frac{(3\sqrt{3} + 4) - (3\sqrt{3} - 4)}{(3\sqrt{3})^2 - 4^2}\]Раскроем скобки в числителе и вычислим знаменатель:
\[= \frac{3\sqrt{3} + 4 - 3\sqrt{3} + 4}{(3^2 \cdot (\sqrt{3})^2) - 16} = \frac{(3\sqrt{3} - 3\sqrt{3}) + (4 + 4)}{(9 \cdot 3) - 16}\] \[= \frac{0 + 8}{27 - 16} = \frac{8}{11}\]Полученное число \(\frac{8}{11}\) является рациональным, так как его можно представить в виде дроби \(\frac{p}{q}\), где \(p\) и \(q\) — целые числа, и \(q \neq 0\).
Что и требовалось доказать.
б) \(\frac{1}{5 - 2\sqrt{6}} - \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}}\) есть число иррациональное.
Решение:
Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет произведением знаменателей, которое является разностью квадратов.
\[\frac{1}{5 - 2\sqrt{6}} - \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}} = \frac{1 \cdot (5 + 2\sqrt{6})}{(5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})} - \frac{1 \cdot (5 - 2\sqrt{6})}{(5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6})}\] \[= \frac{(5 + 2\sqrt{6}) - (5 - 2\sqrt{6})}{5^2 - (2\sqrt{6})^2}\]Раскроем скобки в числителе и вычислим знаменатель:
\[= \frac{5 + 2\sqrt{6} - 5 + 2\sqrt{6}}{25 - (2^2 \cdot (\sqrt{6})^2)} = \frac{(5 - 5) + (2\sqrt{6} + 2\sqrt{6})}{25 - (4 \cdot 6)}\] \[= \frac{0 + 4\sqrt{6}}{25 - 24} = \frac{4\sqrt{6}}{1} = 4\sqrt{6}\]Полученное число \(4\sqrt{6}\) является иррациональным, так как \(\sqrt{6}\) — иррациональное число, а произведение рационального числа (4) на иррациональное число (\(\sqrt{6}\)) является иррациональным числом.
Что и требовалось доказать.