Задача 4
По графику зависимости модуля скорости автомобиля от времени, представленному на рисунке, определите массу автомобиля, если через 8 с после начала движения импульс автомобиля составил 4500 кг · м/с.
1) 500 кг
2) 1500 кг
3) 1000 кг
4) 2000 кг
Решение:
1. Из графика видно, что в момент времени \(t = 8\) с скорость автомобиля \(v = 4\) м/с.
2. Импульс тела \(p\) определяется как произведение массы тела \(m\) на его скорость \(v\):
\[p = m \cdot v\]3. Нам дано, что импульс \(p = 4500\) кг · м/с, и мы нашли скорость \(v = 4\) м/с.
4. Выразим массу \(m\) из формулы импульса:
\[m = \frac{p}{v}\]5. Подставим известные значения:
\[m = \frac{4500 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{4 \text{ м/с}} = 1125 \text{ кг}\]В предложенных вариантах ответа нет точного значения 1125 кг. Возможно, в условии задачи или в вариантах ответа есть опечатка. Однако, если выбирать наиболее близкий вариант, то это 1000 кг или 1500 кг. Давайте перепроверим график. При \(t = 8\) с, \(v = 4\) м/с. Это точно. Если бы импульс был 4000 кг·м/с, то масса была бы 1000 кг. Если бы импульс был 6000 кг·м/с, то масса была бы 1500 кг. Давайте предположим, что в условии задачи импульс был 4000 кг·м/с.
\[m = \frac{4000 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{4 \text{ м/с}} = 1000 \text{ кг}\]Или, если предположить, что импульс был 6000 кг·м/с.
\[m = \frac{6000 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{4 \text{ м/с}} = 1500 \text{ кг}\]Если строго следовать данным, то 1125 кг. Но так как это задача с выбором ответа, и 1125 кг нет, то, возможно, есть ошибка в условии или вариантах. Если бы импульс был 4500 кг·м/с, то 1125 кг. Давайте еще раз внимательно посмотрим на график. Скорость в 8 с равна 4 м/с. Если бы масса была 1000 кг, то импульс был бы \(1000 \text{ кг} \cdot 4 \text{ м/с} = 4000 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\). Если бы масса была 1500 кг, то импульс был бы \(1500 \text{ кг} \cdot 4 \text{ м/с} = 6000 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\). Так как 4500 кг·м/с находится между 4000 и 6000, то и масса 1125 кг находится между 1000 и 1500. Если выбирать из предложенных вариантов, то ни один не является точным. Однако, если это тест, то обычно выбирают ближайший или предполагают, что одно из чисел в условии или вариантах округлено. Давайте предположим, что правильный ответ должен быть одним из предложенных. Если бы импульс был 4000 кг·м/с, то ответ был бы 1000 кг. Если бы импульс был 6000 кг·м/с, то ответ был бы 1500 кг. Так как 4500 кг·м/с ближе к 4000 кг·м/с, чем к 6000 кг·м/с, то 1000 кг является более "близким" вариантом, если округлять. Однако, если это задача на точное вычисление, то 1125 кг. Давайте выберем вариант, который наиболее часто встречается в подобных задачах, когда есть небольшая неточность. Часто это округление. Если бы импульс был 4500 кг·м/с, то масса 1125 кг. Если бы масса была 1000 кг, то импульс был бы 4000 кг·м/с. Если бы масса была 1500 кг, то импульс был бы 6000 кг·м/с. Разница между 4500 и 4000 составляет 500. Разница между 4500 и 6000 составляет 1500. Значит, 4500 ближе к 4000. Поэтому, если выбирать из предложенных, то 1000 кг.
Ответ: 3) 1000 кг (с учетом возможной неточности в условии или вариантах).
Задача 5
Тело движется по прямой. Под действием постоянной силы за 5 с импульс тела увеличился с 20 кг · м/с до 30 кг · м/с. Модуль силы равен
1) 1 Н
2) 2 Н
3) 5 Н
4) 10 Н
Решение:
1. Изменение импульса тела \(\Delta p\) равно разности конечного импульса \(p_2\) и начального импульса \(p_1\):
\[\Delta p = p_2 - p_1\]2. Нам дано: \(p_1 = 20\) кг · м/с, \(p_2 = 30\) кг · м/с.
\[\Delta p = 30 \text{ кг} \cdot \text{м/с} - 20 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 10 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\]3. Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, изменение импульса тела равно произведению силы \(F\) на время ее действия \(\Delta t\):
\[\Delta p = F \cdot \Delta t\]4. Нам дано время \(\Delta t = 5\) с.
5. Выразим силу \(F\):
\[F = \frac{\Delta p}{\Delta t}\]6. Подставим известные значения:
\[F = \frac{10 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{5 \text{ с}} = 2 \text{ Н}\]Ответ: 2) 2 Н
Задача 6
Тележка массой \(m\), движущаяся со скоростью \(\vec{v}\), сталкивается с неподвижной тележкой той же массы и сцепляется с ней. Импульс тележек после взаимодействия равен
1) 0
2) \(\frac{m\vec{v}}{2}\)
3) \(m\vec{v}\)
4) \(2m\vec{v}\)
Решение:
1. Это задача на закон сохранения импульса. Система из двух тележек является замкнутой, так как внешние силы (трение) не учитываются или пренебрежимо малы во время столкновения.
2. Начальный импульс системы \(p_{нач}\) до столкновения:
- Первая тележка имеет массу \(m\) и скорость \(\vec{v}\), её импульс \(p_1 = m\vec{v}\).
- Вторая тележка имеет массу \(m\) и неподвижна, её скорость \(v_2 = 0\), её импульс \(p_2 = m \cdot 0 = 0\).
- Суммарный начальный импульс системы:
\[p_{нач} = p_1 + p_2 = m\vec{v} + 0 = m\vec{v}\]3. После столкновения тележки сцепляются и движутся как единое целое. Это абсолютно неупругое соударение.
4. Общая масса сцепленных тележек \(M_{общ} = m + m = 2m\).
5. Пусть скорость сцепленных тележек после столкновения будет \(\vec{v}'\). Тогда конечный импульс системы \(p_{кон}\) равен:
\[p_{кон} = M_{общ} \cdot \vec{v}' = 2m\vec{v}'\]6. Согласно закону сохранения импульса, начальный импульс равен конечному импульсу:
\[p_{нач} = p_{кон}\] \[m\vec{v} = 2m\vec{v}'\]7. Из этого уравнения можно найти скорость \(\vec{v}'\):
\[\vec{v}' = \frac{m\vec{v}}{2m} = \frac{\vec{v}}{2}\]8. Однако, в задаче спрашивается не скорость, а импульс тележек после взаимодействия. Мы уже нашли, что конечный импульс системы \(p_{кон} = m\vec{v}\).
Ответ: 3) \(m\vec{v}\)
Задача 7
Электровоз массой 150 т, движущийся со скоростью 0,6 м/с, сталкивается с неподвижным вагоном массой 50 т, после чего они движутся вместе. Определите скорость их совместного движения.
1) 0,25 м/с
2) 0,35 м/с
3) 0,45 м/с
4) 0,5 м/с
Решение:
1. Это задача на закон сохранения импульса для абсолютно неупругого соударения.
2. Дано:
- Масса электровоза \(m_1 = 150\) т \( = 150 \cdot 1000\) кг \( = 150000\) кг.
- Скорость электровоза \(v_1 = 0,6\) м/с.
- Масса вагона \(m_2 = 50\) т \( = 50 \cdot 1000\) кг \( = 50000\) кг.
- Скорость вагона \(v_2 = 0\) м/с (неподвижен).
3. Начальный импульс системы (электровоз + вагон) до столкновения:
\[p_{нач} = m_1v_1 + m_2v_2\] \[p_{нач} = (150000 \text{ кг}) \cdot (0,6 \text{ м/с}) + (50000 \text{ кг}) \cdot (0 \text{ м/с})\] \[p_{нач} = 90000 \text{ кг} \cdot \text{м/с} + 0 = 90000 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\]4. После столкновения электровоз и вагон движутся вместе как единое целое. Их общая масса \(M_{общ}\) будет:
\[M_{общ} = m_1 + m_2 = 150 \text{ т} + 50 \text{ т} = 200 \text{ т} = 200000 \text{ кг}\]5. Пусть скорость их совместного движения после столкновения будет \(v'\).
6. Конечный импульс системы \(p_{кон}\) после столкновения:
\[p_{кон} = M_{общ} \cdot v' = (200000 \text{ кг}) \cdot v'\]7. Согласно закону сохранения импульса:
\[p_{нач} = p_{кон}\] \[90000 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = (200000 \text{ кг}) \cdot v'\]8. Выразим скорость \(v'\):
\[v' = \frac{90000 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{200000 \text{ кг}}\] \[v' = \frac{9}{20} \text{ м/с} = 0,45 \text{ м/с}\]Ответ: 3) 0,45 м/с
Задача 8
Два неупругих шара массами 8 кг и 2 кг движутся со скоростями 5 м/с и 3 м/с соответственно, направленными вдоль одной прямой в одну сторону. С какой скоростью они будут двигаться после абсолютно неупругого соударения?
1) 3,4 м/с
2) 4,6 м/с
3) 6,8 м/с
4) 9,2 м/с
Решение:
1. Это задача на закон сохранения импульса для абсолютно неупругого соударения, когда тела движутся в одну сторону.
2. Дано:
- Масса первого шара \(m_1 = 8\) кг.
- Скорость первого шара \(v_1 = 5\) м/с.
- Масса второго шара \(m_2 = 2\) кг.
- Скорость второго шара \(v_2 = 3\) м/с.
- Направления скоростей совпадают.
3. Начальный импульс системы до соударения:
\[p_{нач} = m_1v_1 + m_2v_2\] \[p_{нач} = (8 \text{ кг}) \cdot (5 \text{ м/с}) + (2 \text{ кг}) \cdot (3 \text{ м/с})\] \[p_{нач} = 40 \text{ кг} \cdot \text{м/с} + 6 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 46 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\]4. После абсолютно неупругого соударения шары движутся вместе как единое целое. Их общая масса \(M_{общ}\) будет:
\[M_{общ} = m_1 + m_2 = 8 \text{ кг} + 2 \text{ кг} = 10 \text{ кг}\]5. Пусть скорость их совместного движения после соударения будет \(v'\).
6. Конечный импульс системы \(p_{кон}\) после соударения:
\[p_{кон} = M_{общ} \cdot v' = (10 \text{ кг}) \cdot v'\]7. Согласно закону сохранения импульса:
\[p_{нач} = p_{кон}\] \[46 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = (10 \text{ кг}) \cdot v'\]8. Выразим скорость \(v'\):
\[v' = \frac{46 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{10 \text{ кг}}\] \[v' = 4,6 \text{ м/с}\]Ответ: 2) 4,6 м/с
Задача 9
С неподвижной лодки массой 50 кг на берег прыгнул мальчик массой 40 кг со скоростью 1 м/с относительно берега, направленной горизонтально. Какую скорость относительно берега приобрела лодка?
1) 0,2 м/с
2) 0,8 м/с
3) 1 м/с
4) 1,8 м/с
Решение:
1. Это задача на закон сохранения импульса. Система "лодка + мальчик" является замкнутой, если пренебречь сопротивлением воды и воздуха.
2. Дано:
- Масса лодки \(m_л = 50\) кг.
- Масса мальчика \(m_м = 40\) кг.
- Начальная скорость лодки \(v_{л,нач} = 0\) м/с (неподвижна).
- Начальная скорость мальчика \(v_{м,нач} = 0\) м/с (находится в лодке, которая неподвижна).
- Скорость мальчика после прыжка относительно берега \(v_{м,кон} = 1\) м/с.
3. Начальный импульс системы до прыжка:
\[p_{нач} = (m_л + m_м) \cdot 0 = 0\]4. После прыжка мальчик движется в одну сторону, а лодка в противоположную (по закону сохранения импульса). Пусть направление движения мальчика будет положительным.
5. Конечный импульс системы после прыжка:
\[p_{кон} = m_м v_{м,кон} + m_л v_{л,кон}\]где \(v_{л,кон}\) - скорость лодки после прыжка.
6. Согласно закону сохранения импульса:
\[p_{нач} = p_{кон}\] \[0 = m_м v_{м,кон} + m_л v_{л,кон}\]7. Выразим скорость лодки \(v_{л,кон}\):
\[m_л v_{л,кон} = -m_м v_{м,кон}\] \[v_{л,кон} = -\frac{m_м v_{м,кон}}{m_л}\]8. Подставим известные значения:
\[v_{л,кон} = -\frac{(40 \text{ кг}) \cdot (1 \text{ м/с})}{50 \text{ кг}}\] \[v_{л,кон} = -\frac{40}{50} \text{ м/с} = -0,8 \text{ м/с}\]Отрицательный знак указывает на то, что лодка движется в противоположном направлении относительно мальчика.
Модуль скорости лодки равен 0,8 м/с.
Ответ: 2) 0,8 м/с
Задача 10
Шары одинаковой массы движутся так, как показано на рисунке, и абсолютно неупруго соударяются. Как будет направлен импульс шаров после соударения?
На рисунке показаны два шара одинаковой массы. Первый шар движется вправо со скоростью \(\vec{v}_1\). Второй шар движется вниз со скоростью \(\vec{v}_2\). После абсолютно неупругого соударения они движутся вместе.
1) Стрелка, направленная вниз-влево
2) Стрелка, направленная вниз
3) Стрелка, направленная вправо
4) Стрелка, направленная вниз-вправо
Решение:
1. Это задача на закон сохранения импульса в векторной форме для абсолютно неупругого соударения.
2. Дано: Шары имеют одинаковую массу \(m\).
- Импульс первого шара \(\vec{p}_1 = m\vec{v}_1\). Направлен вправо.
- Импульс второго шара \(\vec{p}_2 = m\vec{v}_2\). Направлен вниз.
3. Начальный импульс системы \(\vec{p}_{нач}\) до соударения является векторной суммой импульсов отдельных шаров:
\[\vec{p}_{нач} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2\]4. Поскольку шары абсолютно неупруго соударяются, после соударения они движутся как единое целое с общей массой \(M_{общ} = m + m = 2m\) и некоторой скоростью \(\vec{v}'\).
5. Конечный импульс системы \(\vec{p}_{кон}\) после соударения:
\[\vec{p}_{кон} = M_{общ} \vec{v}' = 2m\vec{v}'\]6. Согласно закону сохранения импульса:
\[\vec{p}_{нач} = \vec{p}_{кон}\] \[m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2 = 2m\vec{v}'\]7. Разделим обе части на \(m\):
\[\vec{v}_1 + \vec{v}_2 = 2\vec{v}'\]Отсюда, \(\vec{v}' = \frac{\vec{v}_1 + \vec{v}_2}{2}\).
8. Направление конечного импульса \(\vec{p}_{кон}\) совпадает с направлением конечной скорости \(\vec{v}'\), а также с направлением суммарного начального импульса \(\vec{p}_{нач}\).
9. Чтобы найти направление \(\vec{p}_{нач} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2\), нужно сложить векторы \(\vec{p}_1\) (вправо) и \(\vec{p}_2\) (вниз) по правилу параллелограмма или треугольника. Вектор \(\vec{p}_1\) направлен по оси X (положительное направление), а вектор \(\vec{p}_2\) направлен по оси Y (отрицательное направление, если Y вверх). Если \(\vec{p}_1\) направлен вправо, а \(\vec{p}_2\) направлен вниз, то их векторная сумма будет направлена по диагонали прямоугольника, построенного на этих векторах. Эта диагональ будет направлена вправо и вниз.
Ответ: 4) Стрелка, направленная вниз-вправо