А-8 ДЗ-15.12. Упростите выражение:
1. Найдите значение выражения
\[ \frac{(a - 6)^2 + 4(a - 6) + 4}{a - 4} \]Решение:
Заметим, что числитель является полным квадратом. Пусть \(x = a - 6\). Тогда числитель примет вид \(x^2 + 4x + 4\), что равно \((x + 2)^2\).
Подставим \(x = a - 6\) обратно:
\[ (a - 6 + 2)^2 = (a - 4)^2 \]Теперь подставим это в исходное выражение:
\[ \frac{(a - 4)^2}{a - 4} \]Сократим дробь на \(a - 4\), при условии, что \(a - 4 \neq 0\), то есть \(a \neq 4\).
\[ a - 4 \]Ответ: \(a - 4\)
2. Найдите значение выражения
\[ \left(\frac{25x^3}{a^7}\right)^2 \cdot \left(\frac{a^4}{5x^2}\right)^3 \]Решение:
Возведем каждую скобку в соответствующую степень:
\[ \left(\frac{(25)^2 \cdot (x^3)^2}{(a^7)^2}\right) \cdot \left(\frac{(a^4)^3}{(5)^3 \cdot (x^2)^3}\right) \] \[ \left(\frac{625x^6}{a^{14}}\right) \cdot \left(\frac{a^{12}}{125x^6}\right) \]Теперь перемножим дроби:
\[ \frac{625x^6 \cdot a^{12}}{a^{14} \cdot 125x^6} \]Сократим \(x^6\) в числителе и знаменателе:
\[ \frac{625a^{12}}{125a^{14}} \]Разделим 625 на 125:
\[ \frac{5a^{12}}{a^{14}} \]Сократим \(a^{12}\) и \(a^{14}\) (вычтем показатели степени):
\[ \frac{5}{a^{14 - 12}} = \frac{5}{a^2} \]Ответ: \(\frac{5}{a^2}\)
3. Найдите значение выражения
К сожалению, часть выражения для пункта 3 не видна на изображении. Видна только правая часть: \(\frac{6(a^2b)^3}{a^6b^4}\). Предположим, что это и есть полное выражение, которое нужно упростить.
Решение:
Возведем \((a^2b)^3\) в степень:
\[ (a^2b)^3 = (a^2)^3 \cdot b^3 = a^{2 \cdot 3} \cdot b^3 = a^6b^3 \]Теперь подставим это обратно в выражение:
\[ \frac{6a^6b^3}{a^6b^4} \]Сократим \(a^6\) в числителе и знаменателе:
\[ \frac{6b^3}{b^4} \]Сократим \(b^3\) и \(b^4\) (вычтем показатели степени):
\[ \frac{6}{b^{4 - 3}} = \frac{6}{b} \]Ответ: \(\frac{6}{b}\)
4. Найдите значение выражения
\[ \frac{x^2 + 10x + 25}{x^2 - 9} : \frac{4x + 20}{2x + 6} \]Решение:
Сначала упростим каждую дробь. Числитель первой дроби: \(x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2\) (формула квадрата суммы). Знаменатель первой дроби: \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\) (формула разности квадратов).
Числитель второй дроби: \(4x + 20 = 4(x + 5)\) (вынесение общего множителя). Знаменатель второй дроби: \(2x + 6 = 2(x + 3)\) (вынесение общего множителя).
Перепишем выражение с учетом этих упрощений:
\[ \frac{(x + 5)^2}{(x - 3)(x + 3)} : \frac{4(x + 5)}{2(x + 3)} \]Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную дробь:
\[ \frac{(x + 5)^2}{(x - 3)(x + 3)} \cdot \frac{2(x + 3)}{4(x + 5)} \]Теперь сократим общие множители. Сократим \((x + 5)\) (один раз) в числителе и знаменателе. Сократим \((x + 3)\) в числителе и знаменателе. Сократим 2 и 4:
\[ \frac{(x + 5)}{x - 3} \cdot \frac{1}{2} \] \[ \frac{x + 5}{2(x - 3)} \]Ответ: \(\frac{x + 5}{2(x - 3)}\)
5. Найдите значение выражения
Это выражение полностью совпадает с выражением из пункта 2. Решение будет таким же.
\[ \left(\frac{25x^3}{a^7}\right)^2 \cdot \left(\frac{a^4}{5x^2}\right)^3 \]Решение:
Возведем каждую скобку в соответствующую степень:
\[ \left(\frac{(25)^2 \cdot (x^3)^2}{(a^7)^2}\right) \cdot \left(\frac{(a^4)^3}{(5)^3 \cdot (x^2)^3}\right) \] \[ \left(\frac{625x^6}{a^{14}}\right) \cdot \left(\frac{a^{12}}{125x^6}\right) \]Теперь перемножим дроби:
\[ \frac{625x^6 \cdot a^{12}}{a^{14} \cdot 125x^6} \]Сократим \(x^6\) в числителе и знаменателе:
\[ \frac{625a^{12}}{125a^{14}} \]Разделим 625 на 125:
\[ \frac{5a^{12}}{a^{14}} \]Сократим \(a^{12}\) и \(a^{14}\) (вычтем показатели степени):
\[ \frac{5}{a^{14 - 12}} = \frac{5}{a^2} \]Ответ: \(\frac{5}{a^2}\)
6. Найдите значение выражения
\[ \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 25} : \frac{2x + 4}{6x + 30} \]Решение:
Сначала упростим каждую дробь. Числитель первой дроби: \(x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2\) (формула квадрата суммы). Знаменатель первой дроби: \(x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)\) (формула разности квадратов).
Числитель второй дроби: \(2x + 4 = 2(x + 2)\) (вынесение общего множителя). Знаменатель второй дроби: \(6x + 30 = 6(x + 5)\) (вынесение общего множителя).
Перепишем выражение с учетом этих упрощений:
\[ \frac{(x + 2)^2}{(x - 5)(x + 5)} : \frac{2(x + 2)}{6(x + 5)} \]Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную дробь:
\[ \frac{(x + 2)^2}{(x - 5)(x + 5)} \cdot \frac{6(x + 5)}{2(x + 2)} \]Теперь сократим общие множители. Сократим \((x + 2)\) (один раз) в числителе и знаменателе. Сократим \((x + 5)\) в числителе и знаменателе. Сократим 6 и 2:
\[ \frac{(x + 2)}{x - 5} \cdot \frac{3}{1} \] \[ \frac{3(x + 2)}{x - 5} \]Ответ: \(\frac{3(x + 2)}{x - 5}\)
7. Найдите значение выражения
К сожалению, часть выражения для пункта 7 не видна на изображении. Видна только правая часть: \(\frac{5(x - y)}{x^2 + y^2}\). Левая часть неразборчива. Предположим, что это умножение дробей, и левая часть выглядит как \(\frac{x^3 + xy^2}{2(y - x)}\).
Если это так, то выражение будет:
\[ \frac{x^3 + xy^2}{2(y - x)} \cdot \frac{5(x - y)}{x^2 + y^2} \]Решение:
Упростим числитель первой дроби: \(x^3 + xy^2 = x(x^2 + y^2)\) (вынесение общего множителя).
Заметим, что \(y - x = -(x - y)\).
Перепишем выражение с учетом этих упрощений:
\[ \frac{x(x^2 + y^2)}{2(-(x - y))} \cdot \frac{5(x - y)}{x^2 + y^2} \] \[ \frac{x(x^2 + y^2)}{-2(x - y)} \cdot \frac{5(x - y)}{x^2 + y^2} \]Теперь сократим общие множители. Сократим \((x^2 + y^2)\) в числителе и знаменателе. Сократим \((x - y)\) в числителе и знаменателе:
\[ \frac{x}{-2} \cdot \frac{5}{1} \] \[ -\frac{5x}{2} \]Ответ: \(-\frac{5x}{2}\)