Решение контрольной работы №2 по физике: Основы динамики, Вариант 2

Хорошо, давайте разберем задачи по порядку. Контрольная работа № 2 Основы динамики Вариант 2 1. Единицей измерения коэффициента жёсткости \(k\) в СИ является: 1) Дж/кг; 2) кг/м\(^3\); 3) Н/м; 4) Н/м\(^2\); 5) \(k\) – безразмерная величина. Решение: Коэффициент жёсткости \(k\) определяется из закона Гука: \(F = k \cdot \Delta x\), где \(F\) – сила (измеряется в Ньютонах, Н), а \(\Delta x\) – деформация (измеряется в метрах, м). Следовательно, \(k = \frac{F}{\Delta x}\). Единица измерения \(k\) будет \(\frac{\text{Н}}{\text{м}}\). Ответ: 3) Н/м. 2. Векторное равенство \(\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}\) выражает: 1) первый закон Ньютона; 2) второй закон Ньютона; 3) третий закон Ньютона; 4) закон всемирного тяготения; 5) принцип относительности Галилея. Решение: Это равенство является математической формулировкой второго закона Ньютона, который гласит, что ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей силе, действующей на тело, и обратно пропорционально его массе. Ответ: 2) второй закон Ньютона. 3. На рис. 12 изображён брусок, движущийся по горизонтальной поверхности в направлении оси Ox. Сила трения, действующая на брусок со стороны поверхности, обозначена цифрой: Решение: На рисунке 12: 1 – сила, направленная по оси Ox (возможно, приложенная сила или сила тяги). 2 – сила реакции опоры, направленная перпендикулярно поверхности вверх. 3 – сила тяжести, направленная перпендикулярно поверхности вниз. 4 – сила трения, направленная против движения (или против возможного движения), то есть против оси Ox. 5 – ускорение. Ответ: 4) 4. 4. Тело движется по горизонтальной поверхности. Модуль силы нормальной реакции опоры, действующей на тело, \(N = 30\) Н. Определите модуль силы трения \(F_{\text{тр}}\), действующей на тело, если коэффициент трения между поверхностью и телом \(\mu = 0,21\): 1) 6,3 Н; 2) 7,0 Н; 3) 30 Н; 4) 63 Н; 5) 70 Н. Решение: Сила трения скольжения \(F_{\text{тр}}\) определяется по формуле: \(F_{\text{тр}} = \mu \cdot N\), где \(\mu\) – коэффициент трения, а \(N\) – сила нормальной реакции опоры. Дано: \(N = 30\) Н \(\mu = 0,21\) \(F_{\text{тр}} = 0,21 \cdot 30\) Н \(F_{\text{тр}} = 6,3\) Н Ответ: 1) 6,3 Н. 5. На тело, движущееся по горизонтальной поверхности, действует сила трения, модуль которой \(F_{\text{тр}} = 1,2\) Н. Коэффициент трения между поверхностью и телом \(\mu = 0,30\). Определите модуль силы нормальной реакции опоры \(N\), действующей на тело. Решение: Используем ту же формулу для силы трения: \(F_{\text{тр}} = \mu \cdot N\). Из этой формулы выразим \(N\): \(N = \frac{F_{\text{тр}}}{\mu}\). Дано: \(F_{\text{тр}} = 1,2\) Н \(\mu = 0,30\) \(N = \frac{1,2 \text{ Н}}{0,30}\) \(N = 4\) Н Ответ: 4 Н. 6. На рис. 13 представлен график зависимости проекции силы \(F_x\) от растяжения пружины \(x\). Определите коэффициент жёсткости пружины \(k\). Решение: График на рис. 13 показывает линейную зависимость силы \(F_x\) от растяжения \(x\), что соответствует закону Гука \(F_x = k \cdot x\). Коэффициент жёсткости \(k\) является тангенсом угла наклона этого графика, то есть \(k = \frac{F_x}{x}\). Возьмём любую точку на графике, например, при \(x = 8,0\) см (что равно \(0,08\) м), сила \(F_x = 4,0\) Н. \(k = \frac{4,0 \text{ Н}}{0,08 \text{ м}}\) \(k = 50\) Н/м. Ответ: 50 Н/м. 7. Тело массой \(m = 1,2\) кг движется по горизонтальной поверхности. Определите модуль силы трения скольжения \(F_{\text{тр}}\), действующей на тело, если коэффициент трения тела о поверхность \(\mu = 0,25\). Решение: Для тела, движущегося по горизонтальной поверхности, сила нормальной реакции опоры \(N\) равна силе тяжести \(mg\). \(N = mg\). Сила трения скольжения \(F_{\text{тр}} = \mu \cdot N = \mu \cdot mg\). Дано: \(m = 1,2\) кг \(\mu = 0,25\) Примем ускорение свободного падения \(g \approx 9,8\) м/с\(^2\). \(F_{\text{тр}} = 0,25 \cdot 1,2 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2\) \(F_{\text{тр}} = 2,94\) Н. Если использовать \(g = 10\) м/с\(^2\), то: \(F_{\text{тр}} = 0,25 \cdot 1,2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2\) \(F_{\text{тр}} = 3,0\) Н. Обычно в школьных задачах, если не указано иное, можно использовать \(g = 10\) м/с\(^2\) для упрощения расчетов. Ответ: 2,94 Н (или 3,0 Н, если \(g=10\) м/с\(^2\)). 8. На тело массой \(m = 7,0\) кг, расположенное на горизонтальной поверхности, действует горизонтальная сила, модуль которой \(F = 28\) Н. Определите коэффициент трения \(\mu\) между телом и поверхностью, если тело движется с ускорением, модуль которого \(a = 2,5\) м/с\(^2\). Решение: Применим второй закон Ньютона. На тело действуют: 1. Горизонтальная сила \(F\). 2. Сила трения \(F_{\text{тр}}\), направленная против движения. 3. Сила тяжести \(mg\). 4. Сила нормальной реакции опоры \(N\). По вертикали: \(N - mg = 0 \Rightarrow N = mg\). По горизонтали: \(F - F_{\text{тр}} = ma\). Мы знаем, что \(F_{\text{тр}} = \mu \cdot N = \mu \cdot mg\). Подставим это в уравнение по горизонтали: \(F - \mu \cdot mg = ma\). Выразим \(\mu\): \(\mu \cdot mg = F - ma\) \(\mu = \frac{F - ma}{mg}\) Дано: \(m = 7,0\) кг \(F = 28\) Н \(a = 2,5\) м/с\(^2\) Примем \(g = 10\) м/с\(^2\). \(\mu = \frac{28 \text{ Н} - 7,0 \text{ кг} \cdot 2,5 \text{ м/с}^2}{7,0 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}\) \(\mu = \frac{28 \text{ Н} - 17,5 \text{ Н}}{70 \text{ Н}}\) \(\mu = \frac{10,5 \text{ Н}}{70 \text{ Н}}\) \(\mu = 0,15\) Ответ: 0,15. 9. Брусок массой \(m = 3,3\) кг движется по гладкой горизонтальной поверхности под действием силы \(F = 21\) Н, направленной под углом \(\alpha = 30^\circ\) к горизонту (рис. 14). Определите модуль ускорения бруска \(a\). Решение: Поскольку поверхность гладкая, сила трения отсутствует (\(F_{\text{тр}} = 0\)). Разложим силу \(F\) на горизонтальную и вертикальную составляющие: \(F_x = F \cos \alpha\) \(F_y = F \sin \alpha\) По второму закону Ньютона: По горизонтали: \(F_x = ma\) \(F \cos \alpha = ma\) По вертикали: \(N + F_y - mg = 0\) (сила нормальной реакции опоры \(N\) направлена вверх, \(F_y\) вверх, \(mg\) вниз). \(N = mg - F \sin \alpha\) (это уравнение нужно для определения \(N\), но для ускорения по горизонтали оно не требуется, так как трения нет). Из горизонтального уравнения найдем ускорение \(a\): \(a = \frac{F \cos \alpha}{m}\) Дано: \(m = 3,3\) кг \(F = 21\) Н \(\alpha = 30^\circ\) \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866\) \(a = \frac{21 \text{ Н} \cdot \cos 30^\circ}{3,3 \text{ кг}}\) \(a = \frac{21 \cdot 0,866}{3,3}\) \(a \approx \frac{18,186}{3,3}\) \(a \approx 5,51\) м/с\(^2\). Ответ: 5,51 м/с\(^2\). 10. Два цилиндра массами \(m_1 = m\) и \(m_2 = 1,1m\) удерживаются на одном уровне на невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через лёгкий блок радиусом \(R = 17\) см (рис. 15). Определите центростремительное ускорение \(a_ц\) нити, прилегающей к поверхности блока, через промежуток времени \(\Delta t = 3,0\) с после того, как цилиндры отпустили. Примечание. Силы трения и сопротивления в системе не учитывайте, нить не проскальзывает по блоку. Решение: Это задача на систему Атвуда. Массы: \(m_1 = m\), \(m_2 = 1,1m\). Радиус блока \(R = 17\) см \( = 0,17\) м. Время \(\Delta t = 3,0\) с. Сначала найдем ускорение системы. На \(m_1\) действуют сила натяжения нити \(T\) вверх и сила тяжести \(m_1g\) вниз. На \(m_2\) действуют сила натяжения нити \(T\) вверх и сила тяжести \(m_2g\) вниз. Предположим, что \(m_2\) движется вниз, а \(m_1\) вверх, так как \(m_2 > m_1\). Уравнения движения: Для \(m_1\): \(T - m_1g = m_1a\) Для \(m_2\): \(m_2g - T = m_2a\) Сложим два уравнения, чтобы исключить \(T\): \((m_2g - T) + (T - m_1g) = m_2a + m_1a\) \(m_2g - m_1g = (m_1 + m_2)a\) \(a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2}\) Подставим \(m_1 = m\) и \(m_2 = 1,1m\): \(a = \frac{(1,1m - m)g}{m + 1,1m}\) \(a = \frac{0,1mg}{2,1m}\) \(a = \frac{0,1g}{2,1} = \frac{1}{21}g\) Примем \(g = 10\) м/с\(^2\): \(a = \frac{10}{21}\) м/с\(^2 \approx 0,476\) м/с\(^2\). Теперь нужно найти центростремительное ускорение нити, прилегающей к поверхности блока. Центростремительное ускорение \(a_ц = \frac{v^2}{R}\), где \(v\) – линейная скорость нити (и, соответственно, цилиндров) в момент времени \(\Delta t\). Начальная скорость системы \(v_0 = 0\). Скорость через время \(\Delta t\) при постоянном ускорении \(a\): \(v = v_0 + a \Delta t = 0 + a \Delta t = a \Delta t\). Подставим значение \(a\) и \(\Delta t\): \(v = \frac{10}{21} \text{ м/с}^2 \cdot 3,0 \text{ с}\) \(v = \frac{30}{21} \text{ м/с} = \frac{10}{7} \text{ м/с}\). Теперь найдем центростремительное ускорение: \(a_ц = \frac{v^2}{R} = \frac{(\frac{10}{7} \text{ м/с})^2}{0,17 \text{ м}}\) \(a_ц = \frac{\frac{100}{49}}{0,17}\) \(a_ц = \frac{100}{49 \cdot 0,17}\) \(a_ц = \frac{100}{8,33} \approx 12,00\) м/с\(^2\). Ответ: 12,00 м/с\(^2\).