Задача 19.
Фазовая скорость волн де Бройля вычисляется по формуле:
Решение:
Волны де Бройля описывают волновые свойства частиц. Для частицы, движущейся со скоростью \(u\), длина волны де Бройля определяется формулой:
\[\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mu}\]где \(h\) — постоянная Планка, \(p\) — импульс частицы, \(m\) — масса частицы, \(u\) — скорость частицы.
Энергия частицы, согласно теории относительности, связана с импульсом и массой покоя формулой:
\[E^2 = (pc)^2 + (m_0c^2)^2\]Для фотона (частицы без массы покоя) \(E = pc\).
С другой стороны, энергия фотона также выражается через частоту \(\nu\):
\[E = h\nu\]Из этих двух формул для фотона получаем:
\[h\nu = pc\]Так как \(p = h/\lambda\), то:
\[h\nu = \frac{h}{\lambda}c\]Отсюда следует, что \(\nu = \frac{c}{\lambda}\).
Фазовая скорость волны \(v_{\text{ф}}\) определяется как произведение длины волны на частоту:
\[v_{\text{ф}} = \lambda\nu\]Для волн де Бройля, связанных с частицей, энергия частицы \(E\) и импульс \(p\) также связаны с частотой \(\nu\) и длиной волны \(\lambda\) де Бройля:
\[E = h\nu\] \[p = \frac{h}{\lambda}\]Из этих соотношений можно выразить \(\nu = \frac{E}{h}\) и \(\lambda = \frac{h}{p}\).
Подставим эти выражения в формулу для фазовой скорости:
\[v_{\text{ф}} = \lambda\nu = \left(\frac{h}{p}\right)\left(\frac{E}{h}\right) = \frac{E}{p}\]Теперь используем релятивистские формулы для энергии и импульса частицы:
Энергия частицы:
\[E = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}\]Импульс частицы:
\[p = \frac{m_0u}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}\]Подставим эти выражения в формулу для фазовой скорости:
\[v_{\text{ф}} = \frac{E}{p} = \frac{\frac{m_0c^2}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}}{\frac{m_0u}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}}\]Сокращаем одинаковые члены:
\[v_{\text{ф}} = \frac{m_0c^2}{m_0u} = \frac{c^2}{u}\]Таким образом, фазовая скорость волн де Бройля вычисляется по формуле \(v_{\text{ф}} = \frac{c^2}{u}\), где \(c\) — скорость света в вакууме, а \(u\) — скорость частицы.
Ответ:
Правильный вариант ответа: \(\frac{c^2}{u}\).