Решение квадратных уравнений: 4x^2-20=0, 3x^2+5x=0, x^2-5x-24=0

Вот решения всех задач, представленных на изображении.

1. Решите уравнение: 1) \(4x^2 - 20 = 0\) Решение: Перенесем число 20 в правую часть уравнения: \(4x^2 = 20\) Разделим обе части уравнения на 4: \(x^2 = \frac{20}{4}\) \(x^2 = 5\) Извлечем квадратный корень из обеих частей: \(x = \pm\sqrt{5}\) Ответ: \(x_1 = \sqrt{5}\), \(x_2 = -\sqrt{5}\)
2) \(3x^2 + 5x = 0\) Решение: Вынесем общий множитель \(x\) за скобки: \(x(3x + 5) = 0\) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\) или \(3x + 5 = 0\) Из второго уравнения: \(3x = -5\) \(x = -\frac{5}{3}\) Ответ: \(x_1 = 0\), \(x_2 = -\frac{5}{3}\)
3) \(x^2 - 5x - 24 = 0\) Решение: Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=-5\), \(c=-24\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)\) \(D = 25 + 96\) \(D = 121\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1}\) \(x = \frac{5 \pm 11}{2}\) \(x_1 = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8\) \(x_2 = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3\) Ответ: \(x_1 = 8\), \(x_2 = -3\)
4) \(9x^2 + 2x - 7 = 0\) Решение: Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=9\), \(b=2\), \(c=-7\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = 2^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-7)\) \(D = 4 + 252\) \(D = 256\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x = \frac{-2 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 9}\) \(x = \frac{-2 \pm 16}{18}\) \(x_1 = \frac{-2 + 16}{18} = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}\) \(x_2 = \frac{-2 - 16}{18} = \frac{-18}{18} = -1\) Ответ: \(x_1 = \frac{7}{9}\), \(x_2 = -1\)
5) \(7x^2 - 6x + 2 = 0\) Решение: Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=7\), \(b=-6\), \(c=2\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2\) \(D = 36 - 56\) \(D = -20\) Так как \(D < 0\), уравнение не имеет действительных корней. Ответ: Нет действительных корней.
6) \(4x^2 + 12x + 9 = 0\) Решение: Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=4\), \(b=12\), \(c=9\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9\) \(D = 144 - 144\) \(D = 0\) Так как \(D = 0\), уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня). Найдем корень по формуле \(x = \frac{-b}{2a}\): \(x = \frac{-12}{2 \cdot 4}\) \(x = \frac{-12}{8}\) \(x = -\frac{3}{2}\) Также можно заметить, что это полный квадрат: \((2x+3)^2 = 0\), откуда \(2x+3=0\), \(2x=-3\), \(x=-\frac{3}{2}\). Ответ: \(x = -\frac{3}{2}\)

Сократите дробь \(\frac{3a^2 - 5a - 2}{a^2 - 5a + 6}\). Решение: Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. Разложим числитель \(3a^2 - 5a - 2\): Найдем корни квадратного уравнения \(3a^2 - 5a - 2 = 0\). \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49\) \(a = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 7}{6}\) \(a_1 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2\) \(a_2 = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\) Тогда числитель можно записать как \(3(a - 2)(a - (-\frac{1}{3})) = 3(a - 2)(a + \frac{1}{3}) = (a - 2)(3a + 1)\). Разложим знаменатель \(a^2 - 5a + 6\): Найдем корни квадратного уравнения \(a^2 - 5a + 6 = 0\). По теореме Виета: сумма корней равна 5, произведение корней равно 6. Корни: \(a_1 = 2\), \(a_2 = 3\). Тогда знаменатель можно записать как \((a - 2)(a - 3)\). Теперь подставим разложенные множители в дробь: \(\frac{(a - 2)(3a + 1)}{(a - 2)(a - 3)}\) Сократим на \((a - 2)\), при условии, что \(a - 2 \neq 0\), то есть \(a \neq 2\). \(\frac{3a + 1}{a - 3}\) При этом также должно быть \(a - 3 \neq 0\), то есть \(a \neq 3\). Ответ: \(\frac{3a + 1}{a - 3}\), при \(a \neq 2\) и \(a \neq 3\).

Решите уравнение: 1) \(x^4 - 24x^2 - 25 = 0\) Решение: Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть \(y = x^2\). Тогда \(y^2 = x^4\). Уравнение примет вид: \(y^2 - 24y - 25 = 0\) Найдем корни этого квадратного уравнения. \(D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25)\) \(D = 576 + 100\) \(D = 676\) \(\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26\) \(y = \frac{-(-24) \pm 26}{2 \cdot 1}\) \(y = \frac{24 \pm 26}{2}\) \(y_1 = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25\) \(y_2 = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1\) Теперь вернемся к замене \(y = x^2\): Случай 1: \(x^2 = 25\) \(x = \pm\sqrt{25}\) \(x_1 = 5\), \(x_2 = -5\) Случай 2: \(x^2 = -1\) Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Ответ: \(x_1 = 5\), \(x_2 = -5\)
2) \(\frac{1}{(x-3)^2} - \frac{6}{x-3} - 16 = 0\) Решение: Сделаем замену переменной. Пусть \(y = \frac{1}{x-3}\). Тогда \(\frac{1}{(x-3)^2} = y^2\). Уравнение примет вид: \(y^2 - 6y - 16 = 0\) Найдем корни этого квадратного уравнения. \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)\) \(D = 36 + 64\) \(D = 100\) \(\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10\) \(y = \frac{-(-6) \pm 10}{2 \cdot 1}\) \(y = \frac{6 \pm 10}{2}\) \(y_1 = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8\) \(y_2 = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) Теперь вернемся к замене \(y = \frac{1}{x-3}\): Случай 1: \(\frac{1}{x-3} = 8\) \(1 = 8(x-3)\) \(1 = 8x - 24\) \(8x = 1 + 24\) \(8x = 25\) \(x = \frac{25}{8}\) Случай 2: \(\frac{1}{x-3} = -2\) \(1 = -2(x-3)\) \(1 = -2x + 6\) \(2x = 6 - 1\) \(2x = 5\) \(x = \frac{5}{2}\) Проверим, что знаменатель не равен нулю: Для \(x = \frac{25}{8}\): \(x-3 = \frac{25}{8} - 3 = \frac{25-24}{8} = \frac{1}{8} \neq 0\). Для \(x = \frac{5}{2}\): \(x-3 = \frac{5}{2} - 3 = \frac{5-6}{2} = -\frac{1}{2} \neq 0\). Оба корня подходят. Ответ: \(x_1 = \frac{25}{8}\), \(x_2 = \frac{5}{2}\)