Задача № 1
Ошибающийся чат-бот
Поиск в интернете с помощью ИИ по запросу «Какое наибольшее число попарно пересекающихся двухэлементных подмножеств можно выбрать из девятиэлементного множества?» выдал правильный ответ на другой запрос «Какое наибольшее число попарно непересекающихся двухэлементных подмножеств можно выбрать из девятиэлементного множества?».
На сколько полученный ответ отличается от истинного?
Решение:
Для решения этой задачи нам нужно определить два значения:
- Истинный ответ на первый запрос (который был задан ИИ).
- Ответ, который ИИ выдал (который является правильным для второго запроса).
Затем мы найдем разницу между этими двумя значениями.
Пусть у нас есть множество \(S\) из \(n\) элементов. В нашей задаче \(n = 9\).
Шаг 1: Определяем истинный ответ на первый запрос.
Первый запрос: «Какое наибольшее число попарно пересекающихся двухэлементных подмножеств можно выбрать из девятиэлементного множества?»
Двухэлементные подмножества — это пары элементов. Если все такие пары должны попарно пересекаться, это означает, что у любых двух выбранных пар должен быть хотя бы один общий элемент.
Наибольшее количество таких пар можно получить, если все они будут содержать один и тот же общий элемент. Выберем один элемент из нашего девятиэлементного множества (например, элемент '1'). Тогда все двухэлементные подмножества, содержащие этот элемент, будут попарно пересекаться.
Если мы выбрали один элемент, то остальные \(n-1\) элементов могут быть объединены с ним, чтобы сформировать двухэлементные подмножества. В нашем случае \(n=9\), поэтому \(n-1 = 9-1 = 8\).
Пример: Если множество \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\), и мы выберем элемент 1, то попарно пересекающиеся двухэлементные подмножества будут:
\(\{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{1,5\}, \{1,6\}, \{1,7\}, \{1,8\}, \{1,9\}\).
Всего таких подмножеств 8.
Это является максимальным числом по теореме Эрдеша-Ко-Радо для \(k=2\).
Итак, истинный ответ на первый запрос: 8.
Шаг 2: Определяем ответ, который выдал чат-бот.
Чат-бот выдал правильный ответ на другой запрос: «Какое наибольшее число попарно непересекающихся двухэлементных подмножеств можно выбрать из девятиэлементного множества?»
Попарно непересекающиеся двухэлементные подмножества означают, что ни у каких двух выбранных пар нет общих элементов. Каждая пара использует два уникальных элемента из исходного множества.
Чтобы найти наибольшее число таких подмножеств, мы просто делим общее количество элементов на размер каждого подмножества. Поскольку элементы не могут быть разделены, мы берем целую часть от деления.
\[ \text{Число непересекающихся подмножеств} = \left\lfloor \frac{\text{Количество элементов}}{\text{Размер подмножества}} \right\rfloor \] \[ \text{Число непересекающихся подмножеств} = \left\lfloor \frac{9}{2} \right\rfloor \] \[ \text{Число непересекающихся подмножеств} = \left\lfloor 4.5 \right\rfloor = 4 \]Пример: Из множества \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) можно выбрать следующие попарно непересекающиеся двухэлементные подмножества:
\(\{1,2\}, \{3,4\}, \{5,6\}, \{7,8\}\).
Всего таких подмножеств 4. Элемент 9 останется неиспользованным.
Итак, ответ чат-бота: 4.
Шаг 3: Находим, на сколько полученный ответ отличается от истинного.
Истинный ответ: 8.
Ответ чат-бота: 4.
Разница = \(| \text{Истинный ответ} - \text{Ответ чат-бота} | = |8 - 4| = 4\).
Ответ:
Полученный ответ (4) отличается от истинного (8) на 4.