Решение задачи: Давление воды на дно сосуда с пробиркой

Вот решения задач, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику.

Задача 6

В сосуд с водой плотностью \( \rho = 998 \text{ кг/м}^3 \) опущена вертикальная стеклянная пробирка, целиком заполненная водой (см. рис.). Высота \( h_1 \) равна \( 0,05 \text{ м} \). Найдите давление, оказываемое водой на дно сосуда в точке \( A \).

Дано:

Плотность воды \( \rho = 998 \text{ кг/м}^3 \) Высота столба воды в сосуде \( h_1 = 0,05 \text{ м} \) Ускорение свободного падения \( g \approx 9,8 \text{ м/с}^2 \) (стандартное значение, если не указано иное)

Найти:

Давление на дно сосуда в точке \( A \) — \( P_A \)

Решение:

Давление жидкости на дно сосуда определяется по формуле: \[ P = \rho \cdot g \cdot h \] где \( \rho \) — плотность жидкости, \( g \) — ускорение свободного падения, \( h \) — высота столба жидкости. В данной задаче точка \( A \) находится на дне сосуда. Высота столба воды над точкой \( A \) равна \( h_1 \). Наличие пробирки, заполненной водой, не влияет на давление на дно сосуда, так как пробирка также заполнена водой, и давление передается по всей жидкости. Важна только общая высота столба жидкости над точкой, в которой измеряется давление. Подставим известные значения в формулу: \[ P_A = 998 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,05 \text{ м} \] \[ P_A = 489,02 \text{ Па} \]

Ответ:

Давление, оказываемое водой на дно сосуда в точке \( A \), равно \( 489,02 \text{ Па} \).

Задача 7

Стальной цилиндр опустили до полного погружения сначала в воду, а затем в спирт. Во сколько раз выталкивающая сила, действующая на цилиндр в воде, больше, чем выталкивающая сила в спирте?

Дано:

Цилиндр полностью погружен в воду. Цилиндр полностью погружен в спирт. Плотность воды \( \rho_{\text{воды}} \approx 1000 \text{ кг/м}^3 \) (стандартное значение) Плотность спирта \( \rho_{\text{спирта}} \approx 800 \text{ кг/м}^3 \) (стандартное значение, если не указано иное)

Найти:

Отношение выталкивающей силы в воде к выталкивающей силе в спирте — \( \frac{F_{\text{выт. воды}}}{F_{\text{выт. спирта}}} \)

Решение:

Выталкивающая сила (сила Архимеда) определяется по формуле: \[ F_{\text{выт.}} = \rho_{\text{жидкости}} \cdot g \cdot V_{\text{погруж.}} \] где \( \rho_{\text{жидкости}} \) — плотность жидкости, \( g \) — ускорение свободного падения, \( V_{\text{погруж.}} \) — объем погруженной части тела. Поскольку цилиндр полностью погружен как в воду, так и в спирт, объем погруженной части тела \( V_{\text{погруж.}} \) будет равен объему самого цилиндра \( V_{\text{цилиндра}} \) в обоих случаях. Выталкивающая сила в воде: \[ F_{\text{выт. воды}} = \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot V_{\text{цилиндра}} \] Выталкивающая сила в спирте: \[ F_{\text{выт. спирта}} = \rho_{\text{спирта}} \cdot g \cdot V_{\text{цилиндра}} \] Чтобы найти, во сколько раз выталкивающая сила в воде больше, чем в спирте, нужно найти их отношение: \[ \frac{F_{\text{выт. воды}}}{F_{\text{выт. спирта}}} = \frac{\rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot V_{\text{цилиндра}}}{\rho_{\text{спирта}} \cdot g \cdot V_{\text{цилиндра}}} \] Сократим \( g \) и \( V_{\text{цилиндра}} \), так как они одинаковы в обоих случаях: \[ \frac{F_{\text{выт. воды}}}{F_{\text{выт. спирта}}} = \frac{\rho_{\text{воды}}}{\rho_{\text{спирта}}} \] Подставим значения плотностей: \[ \frac{F_{\text{выт. воды}}}{F_{\text{выт. спирта}}} = \frac{1000 \text{ кг/м}^3}{800 \text{ кг/м}^3} \] \[ \frac{F_{\text{выт. воды}}}{F_{\text{выт. спирта}}} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1,25 \]

Ответ:

Выталкивающая сила, действующая на цилиндр в воде, в \( 1,25 \) раза больше, чем выталкивающая сила в спирте.