№58 Случайная величина \(X\) задана рядом распределения (табл.5)
Таблица 5
| \(x_i\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) | \(x_4\) | |---|---|---|---|---| | \(p_i\) | \(p_1\) | \(p_2\) | \(p_3\) | \(p_4\) |
Найти функцию распределения \(F(x)\) случайной величины \(X\) и построить ее график. Вычислить для \(X\) ее математическое ожидание \(M(X)\), дисперсию \(D(X)\) и моду \(M_0\).
Дано: \[V = 11\] \[R = \text{остаток}\left(\frac{V}{4}\right) + 2 = \text{остаток}\left(\frac{11}{4}\right) + 2 = 3 + 2 = 5\] \[x_1 = V + 3 = 11 + 3 = 14\] \[x_2 = x_1 + R = 14 + 5 = 19\] \[x_3 = x_2 + R = 19 + 5 = 24\] \[x_4 = x_3 + 2R = 24 + 2 \cdot 5 = 24 + 10 = 34\]
Вероятности: \[p_1 = \frac{1}{R+5} = \frac{1}{5+5} = \frac{1}{10}\] \[p_2 = \frac{1}{R+3} = \frac{1}{5+3} = \frac{1}{8}\] \[p_3 = \frac{41+33+R^2-R^3}{(R+3)(R+5)(8-R)} = \frac{41+33+5^2-5^3}{(5+3)(5+5)(8-5)} = \frac{74+25-125}{8 \cdot 10 \cdot 3} = \frac{99-125}{240} = \frac{-26}{240}\] Здесь, вероятно, допущена ошибка в условии задачи, так как вероятность не может быть отрицательной. Проверим, возможно, в числителе должно быть другое выражение или знак. Если предположить, что \(p_3\) должна быть положительной, и сумма всех вероятностей равна 1, то можно найти \(p_3\) как \(1 - p_1 - p_2 - p_4\).
Давайте пересчитаем \(p_3\) и \(p_4\), предполагая, что \(p_3\) и \(p_4\) должны быть положительными и сумма всех вероятностей равна 1. \[p_4 = \frac{1}{8-R} = \frac{1}{8-5} = \frac{1}{3}\]
Теперь найдем \(p_3\), используя условие, что сумма всех вероятностей равна 1: \[p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1\] \[\frac{1}{10} + \frac{1}{8} + p_3 + \frac{1}{3} = 1\] Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 10, 8, 3 - это 120. \[\frac{12}{120} + \frac{15}{120} + p_3 + \frac{40}{120} = 1\] \[\frac{12+15+40}{120} + p_3 = 1\] \[\frac{67}{120} + p_3 = 1\] \[p_3 = 1 - \frac{67}{120} = \frac{120-67}{120} = \frac{53}{120}\]
Итак, ряд распределения случайной величины \(X\):
| \(x_i\) | 14 | 19 | 24 | 34 | |---|---|---|---|---| | \(p_i\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{1}{8}\) | \(\frac{53}{120}\) | \(\frac{1}{3}\) |
Проверим сумму вероятностей: \[\frac{1}{10} + \frac{1}{8} + \frac{53}{120} + \frac{1}{3} = \frac{12}{120} + \frac{15}{120} + \frac{53}{120} + \frac{40}{120} = \frac{12+15+53+40}{120} = \frac{120}{120} = 1\] Сумма вероятностей равна 1, значит, ряд распределения составлен верно.
1. Найти функцию распределения \(F(x)\)
Функция распределения \(F(x)\) определяется как \(F(x) = P(X < x)\). Для дискретной случайной величины она имеет ступенчатый вид:Если \(x \le 14\), то \(F(x) = 0\). Если \(14 < x \le 19\), то \(F(x) = P(X=14) = p_1 = \frac{1}{10}\). Если \(19 < x \le 24\), то \(F(x) = P(X=14) + P(X=19) = p_1 + p_2 = \frac{1}{10} + \frac{1}{8} = \frac{4}{40} + \frac{5}{40} = \frac{9}{40}\). Если \(24 < x \le 34\), то \(F(x) = P(X=14) + P(X=19) + P(X=24) = p_1 + p_2 + p_3 = \frac{9}{40} + \frac{53}{120} = \frac{27}{120} + \frac{53}{120} = \frac{80}{120} = \frac{2}{3}\). Если \(x > 34\), то \(F(x) = P(X=14) + P(X=19) + P(X=24) + P(X=34) = p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1\).
Запишем функцию распределения \(F(x)\): \[F(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \le 14 \\ \frac{1}{10}, & \text{при } 14 < x \le 19 \\ \frac{9}{40}, & \text{при } 19 < x \le 24 \\ \frac{2}{3}, & \text{при } 24 < x \le 34 \\ 1, & \text{при } x > 34 \end{cases}\]
2. Построить график функции распределения \(F(x)\)
График функции распределения будет представлять собой ступенчатую функцию. На оси абсцисс откладываем значения \(x\), на оси ординат - значения \(F(x)\). * При \(x \le 14\), \(F(x) = 0\). Это горизонтальная линия на уровне 0 до \(x=14\). * В точке \(x=14\) происходит скачок до \(\frac{1}{10}\). Затем горизонтальная линия на уровне \(\frac{1}{10}\) до \(x=19\). * В точке \(x=19\) происходит скачок до \(\frac{9}{40}\). Затем горизонтальная линия на уровне \(\frac{9}{40}\) до \(x=24\). * В точке \(x=24\) происходит скачок до \(\frac{2}{3}\). Затем горизонтальная линия на уровне \(\frac{2}{3}\) до \(x=34\). * В точке \(x=34\) происходит скачок до \(1\). Затем горизонтальная линия на уровне \(1\) для всех \(x > 34\).(Здесь должен быть график. Поскольку я не могу нарисовать график, я описал его словами. Школьнику нужно будет нарисовать его по описанию.)
3. Вычислить математическое ожидание \(M(X)\)
Математическое ожидание \(M(X)\) для дискретной случайной величины вычисляется по формуле: \[M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i\] \[M(X) = 14 \cdot \frac{1}{10} + 19 \cdot \frac{1}{8} + 24 \cdot \frac{53}{120} + 34 \cdot \frac{1}{3}\] \[M(X) = \frac{14}{10} + \frac{19}{8} + \frac{24 \cdot 53}{120} + \frac{34}{3}\] \[M(X) = 1.4 + 2.375 + \frac{1272}{120} + \frac{34}{3}\] \[M(X) = 1.4 + 2.375 + 10.6 + 11.333...\] Приведем к общему знаменателю 120: \[M(X) = \frac{14 \cdot 12}{120} + \frac{19 \cdot 15}{120} + \frac{24 \cdot 53}{120} + \frac{34 \cdot 40}{120}\] \[M(X) = \frac{168}{120} + \frac{285}{120} + \frac{1272}{120} + \frac{1360}{120}\] \[M(X) = \frac{168 + 285 + 1272 + 1360}{120} = \frac{3085}{120}\] \[M(X) \approx 25.708\]4. Вычислить дисперсию \(D(X)\)
Дисперсия \(D(X)\) вычисляется по формуле: \[D(X) = M(X^2) - (M(X))^2\] Сначала найдем \(M(X^2)\): \[M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i\] \[M(X^2) = 14^2 \cdot \frac{1}{10} + 19^2 \cdot \frac{1}{8} + 24^2 \cdot \frac{53}{120} + 34^2 \cdot \frac{1}{3}\] \[M(X^2) = 196 \cdot \frac{1}{10} + 361 \cdot \frac{1}{8} + 576 \cdot \frac{53}{120} + 1156 \cdot \frac{1}{3}\] \[M(X^2) = \frac{196}{10} + \frac{361}{8} + \frac{30528}{120} + \frac{1156}{3}\] Приведем к общему знаменателю 120: \[M(X^2) = \frac{196 \cdot 12}{120} + \frac{361 \cdot 15}{120} + \frac{30528}{120} + \frac{1156 \cdot 40}{120}\] \[M(X^2) = \frac{2352}{120} + \frac{5415}{120} + \frac{30528}{120} + \frac{46240}{120}\] \[M(X^2) = \frac{2352 + 5415 + 30528 + 46240}{120} = \frac{84535}{120}\] \[M(X^2) \approx 704.458\]Теперь вычислим дисперсию: \[D(X) = \frac{84535}{120} - \left(\frac{3085}{120}\right)^2\] \[D(X) = \frac{84535}{120} - \frac{9517225}{14400}\] Приведем к общему знаменателю 14400: \[D(X) = \frac{84535 \cdot 120}{14400} - \frac{9517225}{14400}\] \[D(X) = \frac{10144200 - 9517225}{14400} = \frac{626975}{14400}\] \[D(X) \approx 43.540\]