Решение задачи: Параллельность прямых и плоскостей

Хорошо, давайте разберем эту самостоятельную работу по геометрии. --- Самостоятельная работа Параллельность прямых и плоскостей Вариант 1 --- 1. Точки \(M\), \(P\), \(K\) – середины ребер \(DA\), \(DB\), \(DC\) тетраэдра \(DABC\). Назовите прямую, параллельную плоскости \(FBC\). 1) \(MP\) 2) \(PK\) 3) \(MK\) 4) \(MK\) и \(PK\) Решение: В тетраэдре \(DABC\), если \(M\), \(P\), \(K\) – середины ребер \(DA\), \(DB\), \(DC\) соответственно, то прямая, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне. Рассмотрим треугольник \(DBC\). Точки \(P\) и \(K\) – середины сторон \(DB\) и \(DC\). Следовательно, прямая \(PK\) параллельна стороне \(BC\). Если прямая \(PK\) параллельна прямой \(BC\), которая лежит в плоскости \(FBC\), то прямая \(PK\) параллельна плоскости \(FBC\). Ответ: 2) \(PK\) --- 2. \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – прямоугольный параллелепипед. Какая из прямых параллельна плоскости \(ABC\)? 1) \(a\) 2) \(b\) 3) \(p\) 4) \(m\) Решение: На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед. Плоскость \(ABC\) – это плоскость основания \(ABCD\). Прямые, параллельные плоскости основания, – это прямые, лежащие в плоскости, параллельной основанию, или прямые, параллельные какой-либо прямой в основании. На рисунке прямая \(m\) – это прямая \(A_1B_1\), которая параллельна прямой \(AB\) в основании. Следовательно, прямая \(m\) параллельна плоскости \(ABC\). Ответ: 4) \(m\) --- 3. В тетраэдре \(DABC\) \(BK = KC\), \(DP = PC\). Плоскости какой грани параллельна прямая \(PK\)? 1) \(DAB\) 2) \(DBC\) 3) \(DAC\) 4) \(ABC\) Решение: В тетраэдре \(DABC\) дано, что \(K\) – середина ребра \(BC\) (\(BK = KC\)) и \(P\) – середина ребра \(DC\) (\(DP = PC\)). Рассмотрим треугольник \(DBC\). Прямая \(PK\) соединяет середины сторон \(BC\) и \(DC\). По теореме о средней линии треугольника, прямая \(PK\) параллельна стороне \(DB\). Если прямая \(PK\) параллельна прямой \(DB\), которая лежит в плоскости грани \(DAB\), то прямая \(PK\) параллельна плоскости \(DAB\). Ответ: 1) \(DAB\) --- 4. Выберите верно высказывание: 1) Не параллельные в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются. 2) Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая либо так же ей параллельна, либо лежит в этой плоскости. 3) Существует такая прямая, которая лежит в плоскости и параллельна прямой, пересекающей данную плоскость. 4) Скрещивающиеся прямые не имеют общих точек. Решение: Разберем каждое высказывание: 1) "Не параллельные в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются." – Неверно. Параллельные прямые в пространстве – это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямые, которые не пересекаются, но не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися. 2) "Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая либо так же ей параллельна, либо лежит в этой плоскости." – Верно. Это свойство параллельности прямой и плоскости. Если прямая \(a\) параллельна прямой \(b\), и прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\), то прямая \(b\) либо параллельна плоскости \(\alpha\), либо лежит в плоскости \(\alpha\). 3) "Существует такая прямая, которая лежит в плоскости и параллельна прямой, пересекающей данную плоскость." – Неверно. Если прямая пересекает плоскость, то любая прямая, лежащая в этой плоскости и параллельная ей, не может быть параллельна прямой, пересекающей плоскость, если только эта прямая не совпадает с линией пересечения. 4) "Скрещивающиеся прямые не имеют общих точек." – Верно. По определению, скрещивающиеся прямые – это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Ответ: 2) и 4) (Обычно в таких заданиях выбирают одно наиболее полное или точное утверждение. Если нужно выбрать одно, то 2) является более сложным и важным свойством, а 4) – это просто часть определения. Однако, оба утверждения верны. Если подразумевается выбор всех верных, то это 2 и 4. Если одно, то 2). Давайте выберем 2, как более содержательное свойство.) --- 5. Определите взаимное расположение прямых. 1) \(a\) и \(b\) – пересекающиеся прямые 2) \(a\) и \(b\) – параллельные прямые 3) \(a\) и \(b\) – скрещивающиеся прямые Решение: На рисунке изображен куб. Прямые \(a\) и \(b\) – это ребра куба. Прямая \(a\) – это ребро \(A_1D_1\). Прямая \(b\) – это ребро \(BC\). Эти прямые не лежат в одной плоскости (например, \(A_1D_1\) лежит в плоскости \(A_1B_1C_1D_1\), а \(BC\) – в плоскости \(ABCD\)). Также они не пересекаются. Следовательно, прямые \(a\) и \(b\) являются скрещивающимися. Ответ: 3) \(a\) и \(b\) – скрещивающиеся прямые --- 6. Могут ли прямая и плоскость иметь одну общую точку? Решение: Да, могут. Если прямая пересекает плоскость, то у них будет ровно одна общая точка – точка пересечения. Ответ: Да, могут. --- 7. Верно ли, что если прямая не имеет с плоскостью общих точек, то эта прямая параллельна плоскости? Решение: Да, это определение параллельности прямой и плоскости. Если прямая не имеет с плоскостью общих точек, то она параллельна этой плоскости. Ответ: Верно. --- 8. Верно ли, что любые четыре точки не лежат в одной плоскости? Решение: Нет, неверно. Например, если четыре точки лежат на одной прямой, то они лежат и в одной плоскости. Также, если четыре точки являются вершинами параллелограмма, то они лежат в одной плоскости. Ответ: Неверно. --- 9. Верно ли, что любые четыре точки не лежат в одной плоскости? (Повтор вопроса 8, ответ тот же) Ответ: Неверно. --- 10. Верно ли, что линии пересечения двух плоскостей параллельны одной из этих плоскостей? Решение: Нет, неверно. Линия пересечения двух плоскостей – это прямая. Прямая не может быть параллельна плоскости, в которой она лежит. Она принадлежит обеим плоскостям. Ответ: Неверно. --- 11. Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости \(\alpha\), то и третья сторона параллельна плоскости \(\alpha\)? Решение: Нет, неверно. Пример: Представьте треугольник, две стороны которого лежат в плоскости, параллельной \(\alpha\). Тогда и третья сторона будет лежать в этой же плоскости, и, следовательно, будет параллельна \(\alpha\). Однако, если две стороны треугольника параллельны плоскости \(\alpha\), это не означает, что сам треугольник лежит в плоскости, параллельной \(\alpha\). Например, можно взять треугольник, две стороны которого параллельны плоскости \(\alpha\), но третья сторона пересекает \(\alpha\). Например, возьмем плоскость \(\alpha\). Проведем две параллельные прямые \(l_1\) и \(l_2\) в плоскости, параллельной \(\alpha\). Возьмем на \(l_1\) точку \(A\), на \(l_2\) точку \(B\). Проведем прямую \(AC\), которая пересекает \(\alpha\), и прямую \(BC\), которая также пересекает \(\alpha\). Тогда стороны \(AC\) и \(BC\) не параллельны \(\alpha\). Более простой контрпример: Пусть плоскость \(\alpha\) – это пол. Возьмем треугольник, две стороны которого параллельны полу (например, две стороны лежат на столе, который параллелен полу). Тогда и третья сторона будет параллельна полу. Но если две стороны треугольника параллельны плоскости \(\alpha\), это не значит, что они лежат в одной плоскости, параллельной \(\alpha\). Например, пусть \(AB\) параллельна \(\alpha\), \(AC\) параллельна \(\alpha\). Тогда прямая, проходящая через \(A\) и параллельная \(\alpha\), может быть разной для \(AB\) и \(AC\). Если две прямые \(AB\) и \(AC\) параллельны плоскости \(\alpha\), то плоскость, проходящая через \(AB\) и \(AC\) (то есть плоскость треугольника \(ABC\)), может быть параллельна \(\alpha\). В этом случае и \(BC\) будет параллельна \(\alpha\). Однако, если плоскость треугольника пересекает \(\alpha\), то третья сторона может и не быть параллельной \(\alpha\). Например, представьте, что две стороны треугольника лежат на двух параллельных прямых, которые параллельны плоскости \(\alpha\). А третья сторона соединяет эти две прямые и пересекает плоскость \(\alpha\). Это утверждение верно только в том случае, если плоскость, содержащая треугольник, параллельна плоскости \(\alpha\). Но это не следует из условия. Ответ: Неверно. --- 12. Верно ли, что если прямая \(a\) параллельна с пересекает прямую \(b\), а не пересекает прямую \(c\), то \(b\) и \(c\) – скрещивающиеся прямые? Решение: Давайте разберем. Прямая \(a\) параллельна прямой \(b\). Прямая \(a\) пересекает прямую \(c\). Прямая \(b\) не пересекает прямую \(c\). Из того, что \(a\) параллельна \(b\), следует, что они лежат в одной плоскости. Из того, что \(a\) пересекает \(c\), следует, что они лежат в одной плоскости. Если \(a\) параллельна \(b\), и \(a\) пересекает \(c\), то \(b\) и \(c\) могут быть параллельными (если \(c\) параллельна \(a\), то \(c\) параллельна \(b\)), или пересекающимися (если \(c\) лежит в той же плоскости, что и \(a\) и \(b\), и пересекает \(a\), то она может пересекать и \(b\)), или скрещивающимися. Условие "прямая \(b\) не пересекает прямую \(c\)" исключает случай пересечения. Остаются два варианта: \(b\) и \(c\) параллельны, или \(b\) и \(c\) скрещиваются. Если \(a\) параллельна \(b\), и \(a\) пересекает \(c\), то \(c\) не может быть параллельна \(a\), так как она ее пересекает. Если \(c\) не параллельна \(a\), то \(c\) не параллельна \(b\). Таким образом, \(b\) и \(c\) не параллельны и не пересекаются. Следовательно, они скрещивающиеся. Ответ: Верно. --- 13. Две стороны параллелограмма параллельны плоскости \(\alpha\). Параллельны ли плоскости \(\alpha\) и плоскость параллелограмма? Решение: Да, параллельны. Если две пересекающиеся прямые (стороны параллелограмма, выходящие из одной вершины) параллельны плоскости \(\alpha\), то плоскость, содержащая эти прямые (плоскость параллелограмма), параллельна плоскости \(\alpha\). Ответ: Да, параллельны. --- 14. Могут ли быть равны два непараллельных отрезка, заключенные между параллельными плоскостями? Решение: Да, могут. Например, если взять две параллельные плоскости. Проведем через них два отрезка, которые не параллельны друг другу, но имеют одинаковую длину. Это возможно, если отрезки являются наклонными к плоскостям. Например, один отрезок может быть более "крутым" наклоном, а другой – более "пологим", но при этом их длины могут быть одинаковыми. Представьте, что вы держите две линейки одинаковой длины. Вы можете расположить их так, чтобы они были заключены между двумя параллельными столами, но при этом не были параллельны друг другу. Ответ: Да, могут. --- 15. Могут ли пересекаться плоскости, параллельные одной и той же прямой? Решение: Да, могут. Представьте прямую \(l\). Возьмем две плоскости \(\alpha\) и \(\beta\). Пусть плоскость \(\alpha\) параллельна прямой \(l\). Пусть плоскость \(\beta\) параллельна прямой \(l\). Эти две плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) могут пересекаться. Пример: Возьмите прямую \(l\) (например, ось \(Ox\)). Плоскость \(z=1\) параллельна оси \(Ox\). Плоскость \(y=1\) параллельна оси \(Ox\). Эти две плоскости \(z=1\) и \(y=1\) пересекаются по прямой, которая параллельна оси \(Ox\) (это прямая \(y=1, z=1\)). Ответ: Да, могут. ---