Решение задачи: Нахождение производной функции

Хорошо, давайте решим задачи из "Контрольной работы по математике. Билет 17".

1. Найти производную

а) \(y = \frac{\cos x}{1+x}\)

Для нахождения производной частного используем формулу: \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Здесь \(u = \cos x\) и \(v = 1+x\). Найдем производные \(u'\) и \(v'\): \(u' = (\cos x)' = -\sin x\) \(v' = (1+x)' = 1\) Теперь подставим в формулу: \[ y' = \frac{(-\sin x)(1+x) - (\cos x)(1)}{(1+x)^2} \] \[ y' = \frac{-\sin x - x\sin x - \cos x}{(1+x)^2} \] \[ y' = -\frac{\sin x + x\sin x + \cos x}{(1+x)^2} \]

б) \(y = \text{tg}\sqrt{x}\)

Для нахождения производной сложной функции используем цепное правило: \((f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Здесь внешняя функция \(f(u) = \text{tg } u\) и внутренняя функция \(u = \sqrt{x}\). Найдем производные: \(f'(u) = (\text{tg } u)' = \frac{1}{\cos^2 u}\) \(g'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) Теперь подставим в формулу: \[ y' = \frac{1}{\cos^2(\sqrt{x})} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \] \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x}\cos^2(\sqrt{x})} \]

2. Найти дифференциал

Дифференциал функции \(y=f(x)\) находится по формуле \(dy = f'(x)dx\).

а) \(y = \ln(\cos x)\)

Сначала найдем производную \(y'\). Используем цепное правило. Внешняя функция \(f(u) = \ln u\), внутренняя функция \(u = \cos x\). \(f'(u) = (\ln u)' = \frac{1}{u}\) \(u' = (\cos x)' = -\sin x\) Тогда \(y' = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\text{tg } x\). Теперь найдем дифференциал: \[ dy = -\text{tg } x \, dx \]

б) \(y = (a+b)\sin 3x\)

Здесь \(a\) и \(b\) - константы. Найдем производную \(y'\). Используем цепное правило. Внешняя функция \(f(u) = (a+b)\sin u\), внутренняя функция \(u = 3x\). \(f'(u) = (a+b)(\sin u)' = (a+b)\cos u\) \(u' = (3x)' = 3\) Тогда \(y' = (a+b)\cos(3x) \cdot 3 = 3(a+b)\cos 3x\). Теперь найдем дифференциал: \[ dy = 3(a+b)\cos 3x \, dx \]

3. Найти неопределенный интеграл

а) \(\int \frac{x \, dx}{1+x^2}\)

Для решения этого интеграла используем метод замены переменной. Пусть \(t = 1+x^2\). Тогда \(dt = (1+x^2)' dx = 2x \, dx\). Отсюда \(x \, dx = \frac{1}{2} dt\). Подставим в интеграл: \[ \int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt \] \[ = \frac{1}{2} \ln|t| + C \] Теперь вернемся к исходной переменной \(x\): \[ = \frac{1}{2} \ln|1+x^2| + C \] Так как \(1+x^2\) всегда положительно, модуль можно опустить: \[ = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C \]

б) \(\int \frac{(\sqrt{x}-1)^2 + x}{2x^2} \, dx\)

Сначала раскроем скобки в числителе и упростим выражение: \((\sqrt{x}-1)^2 + x = ((\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x} \cdot 1 + 1^2) + x = (x - 2\sqrt{x} + 1) + x = 2x - 2\sqrt{x} + 1\) Теперь подставим это в интеграл: \[ \int \frac{2x - 2\sqrt{x} + 1}{2x^2} \, dx \] Разделим числитель на знаменатель: \[ \int \left(\frac{2x}{2x^2} - \frac{2\sqrt{x}}{2x^2} + \frac{1}{2x^2}\right) \, dx \] \[ = \int \left(\frac{1}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^2} + \frac{1}{2x^2}\right) \, dx \] Упростим второе слагаемое: \(\frac{\sqrt{x}}{x^2} = \frac{x^{1/2}}{x^2} = x^{1/2 - 2} = x^{-3/2}\). \[ = \int \left(x^{-1} - x^{-3/2} + \frac{1}{2}x^{-2}\right) \, dx \] Теперь проинтегрируем каждое слагаемое: \[ = \int x^{-1} \, dx - \int x^{-3/2} \, dx + \frac{1}{2} \int x^{-2} \, dx \] \[ = \ln|x| - \frac{x^{-3/2+1}}{-3/2+1} + \frac{1}{2} \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C \] \[ = \ln|x| - \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + \frac{1}{2} \frac{x^{-1}}{-1} + C \] \[ = \ln|x| + 2x^{-1/2} - \frac{1}{2}x^{-1} + C \] \[ = \ln|x| + \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2x} + C \]

4. Вычислить определенный интеграл

а) \(\int_0^1 dx\)

Это интеграл от константы 1. Первообразная от 1 равна \(x\). Применим формулу Ньютона-Лейбница: \(\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\). \[ \int_0^1 dx = [x]_0^1 = 1 - 0 = 1 \]

б) \(\int_{\pi/6}^{\pi/4} \frac{\cos 2x}{1+\sin 2x} \, dx\)

Для решения этого интеграла используем метод замены переменной. Пусть \(t = 1+\sin 2x\). Тогда \(dt = (1+\sin 2x)' dx = (\cos 2x \cdot 2) dx = 2\cos 2x \, dx\). Отсюда \(\cos 2x \, dx = \frac{1}{2} dt\). Теперь изменим пределы интегрирования: При \(x = \frac{\pi}{6}\): \(t_1 = 1+\sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = 1+\sin(\frac{\pi}{3}) = 1+\frac{\sqrt{3}}{2}\). При \(x = \frac{\pi}{4}\): \(t_2 = 1+\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = 1+\sin(\frac{\pi}{2}) = 1+1 = 2\). Подставим в интеграл: \[ \int_{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}^{2} \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int_{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}^{2} \frac{1}{t} dt \] \[ = \frac{1}{2} [\ln|t|]_{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}^{2} \] \[ = \frac{1}{2} (\ln|2| - \ln|1+\frac{\sqrt{3}}{2}|) \] Так как \(2 > 0\) и \(1+\frac{\sqrt{3}}{2} > 0\), модули можно опустить. \[ = \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln(1+\frac{\sqrt{3}}{2})) \] Используя свойство логарифмов \(\ln a - \ln b = \ln(\frac{a}{b})\): \[ = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{2}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}\right) \] \[ = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{2}{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}\right) \] \[ = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{4}{2+\sqrt{3}}\right) \] Можно избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(2-\sqrt{3}\): \[ \frac{4}{2+\sqrt{3}} = \frac{4(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{4(2-\sqrt{3})}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4(2-\sqrt{3})}{4-3} = \frac{4(2-\sqrt{3})}{1} = 8-4\sqrt{3} \] Таким образом: \[ = \frac{1}{2} \ln(8-4\sqrt{3}) \]

5. Найти решение

Это задачи на решение дифференциальных уравнений.

а) \(y' = x^3 + 2x\)

Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. \(y' = \frac{dy}{dx}\). \[ \frac{dy}{dx} = x^3 + 2x \] Разделим переменные: \[ dy = (x^3 + 2x) \, dx \] Проинтегрируем обе части: \[ \int dy = \int (x^3 + 2x) \, dx \] \[ y = \int x^3 \, dx + \int 2x \, dx \] \[ y = \frac{x^{3+1}}{3+1} + 2 \frac{x^{1+1}}{1+1} + C \] \[ y = \frac{x^4}{4} + 2 \frac{x^2}{2} + C \] \[ y = \frac{x^4}{4} + x^2 + C \]

б) \(y \cdot y' = x\)

Это также дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. \(y' = \frac{dy}{dx}\). \[ y \cdot \frac{dy}{dx} = x \] Разделим переменные: \[ y \, dy = x \, dx \] Проинтегрируем обе части: \[ \int y \, dy = \int x \, dx \] \[ \frac{y^{1+1}}{1+1} = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C \] \[ \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C \] Чтобы выразить \(y\), умножим обе части на 2: \[ y^2 = x^2 + 2C \] Обозначим \(2C\) как новую константу \(C_1\): \[ y^2 = x^2 + C_1 \] Тогда: \[ y = \pm\sqrt{x^2 + C_1} \]