Решение: Медиана равностороннего треугольника со стороной 10√3

Хорошо, давайте решим задачи по порядку. Вариант 4 Задача 1. Сторона равностороннего треугольника равна \(10\sqrt{3}\). Найдите медиану этого треугольника. Решение: 1. Нарисуем равносторонний треугольник. Обозначим его вершины как A, B, C. 2. В равностороннем треугольнике все стороны равны. Пусть сторона \(a = 10\sqrt{3}\). 3. В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к любой стороне, также является высотой и биссектрисой. 4. Рассмотрим медиану, проведенную из вершины A к стороне BC. Обозначим точку пересечения медианы со стороной BC как D. 5. Треугольник ABD будет прямоугольным, так как AD является высотой. 6. В прямоугольном треугольнике ABD: * Гипотенуза AB равна стороне треугольника, то есть \(AB = 10\sqrt{3}\). * Катет BD равен половине стороны BC, так как D - середина BC. Значит, \(BD = \frac{BC}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\). * Катет AD - это искомая медиана. 7. Применим теорему Пифагора для треугольника ABD: \(AD^2 + BD^2 = AB^2\) \(AD^2 + (5\sqrt{3})^2 = (10\sqrt{3})^2\) \(AD^2 + (25 \cdot 3) = (100 \cdot 3)\) \(AD^2 + 75 = 300\) \(AD^2 = 300 - 75\) \(AD^2 = 225\) \(AD = \sqrt{225}\) \(AD = 15\) Ответ: Медиана равностороннего треугольника равна 15. Задача 2. В треугольнике ABC угол C равен \(90^\circ\). \(AC=4\), \(AB=5\). Найдите \(\sin B\). Решение: 1. Нарисуем прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. 2. Обозначим стороны: * Катет AC = 4. * Гипотенуза AB = 5. 3. Синус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе. 4. Для угла B противолежащим катетом является AC, а гипотенузой - AB. 5. Значит, \(\sin B = \frac{AC}{AB}\). 6. Подставим известные значения: \(\sin B = \frac{4}{5}\) \(\sin B = 0.8\) Ответ: \(\sin B = 0.8\). Задача 3. В треугольнике ABC угол C равен \(90^\circ\). \(\cos B = \frac{13}{16}\). \(AB=96\). Найдите BC. Решение: 1. Нарисуем прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. 2. Обозначим известные значения: * \(\cos B = \frac{13}{16}\). * Гипотенуза AB = 96. 3. Косинус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе. 4. Для угла B прилежащим катетом является BC, а гипотенузой - AB. 5. Значит, \(\cos B = \frac{BC}{AB}\). 6. Подставим известные значения в формулу: \(\frac{13}{16} = \frac{BC}{96}\) 7. Чтобы найти BC, умножим обе части уравнения на 96: \(BC = \frac{13}{16} \cdot 96\) 8. Выполним умножение: \(BC = 13 \cdot \frac{96}{16}\) \(BC = 13 \cdot 6\) \(BC = 78\) Ответ: BC = 78.