Задача:
Найти общую ёмкость цепи между точками A и B, если даны ёмкости конденсаторов:
\(C_1 = 2\)
\(C_2 = 3\)
\(C_3 = 5\)
\(C_4 = 4\)
\(C_5 = 1\)
Единицы измерения ёмкости (например, микрофарады) не указаны, поэтому будем считать, что все значения даны в одних и тех же условных единицах.
Решение:
Для решения задачи необходимо последовательно упрощать схему, используя правила сложения ёмкостей для последовательного и параллельного соединения.
1. Определим, какие конденсаторы соединены последовательно, а какие параллельно.
Видно, что конденсаторы \(C_2\) и \(C_4\) соединены последовательно. Также конденсаторы \(C_1\) и \(C_3\) соединены последовательно.
2. Найдем эквивалентную ёмкость для последовательно соединенных конденсаторов \(C_2\) и \(C_4\).
При последовательном соединении ёмкости складываются по формуле:
\[\frac{1}{C_{посл}} = \frac{1}{C_a} + \frac{1}{C_b}\]
Для \(C_2\) и \(C_4\):
\[\frac{1}{C_{24}} = \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_4}\]
Подставим значения:
\[\frac{1}{C_{24}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\]
\[\frac{1}{C_{24}} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12}\]
\[\frac{1}{C_{24}} = \frac{7}{12}\]
\[C_{24} = \frac{12}{7}\]
3. Найдем эквивалентную ёмкость для последовательно соединенных конденсаторов \(C_1\) и \(C_3\).
\[\frac{1}{C_{13}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_3}\]
Подставим значения:
\[\frac{1}{C_{13}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{5}\]
\[\frac{1}{C_{13}} = \frac{5}{10} + \frac{2}{10}\]
\[\frac{1}{C_{13}} = \frac{7}{10}\]
\[C_{13} = \frac{10}{7}\]
4. Теперь рассмотрим новую схему.
Конденсатор \(C_{13}\) (эквивалент \(C_1\) и \(C_3\)) и конденсатор \(C_5\) соединены параллельно.
Конденсатор \(C_{24}\) (эквивалент \(C_2\) и \(C_4\)) также соединен параллельно с этой группой.
Однако, если внимательно посмотреть на схему, видно, что \(C_1\) и \(C_3\) соединены последовательно, а затем эта комбинация параллельна \(C_5\). И вся эта группа последовательна с \(C_2\) и \(C_4\), которые также последовательны.
Давайте перерисуем схему мысленно или на черновике, чтобы было понятнее.
Схема выглядит так:
- Ветвь 1: \(C_1\) последовательно с \(C_3\).
- Ветвь 2: \(C_5\).
- Ветвь 3: \(C_2\) последовательно с \(C_4\).
5. Найдем эквивалентную ёмкость для параллельно соединенных конденсаторов \(C_{13}\) и \(C_5\).
При параллельном соединении ёмкости складываются:
\[C_{пар} = C_a + C_b\]
Для \(C_{13}\) и \(C_5\):
\[C_{135} = C_{13} + C_5\]
Подставим значения:
\[C_{135} = \frac{10}{7} + 1\]
\[C_{135} = \frac{10}{7} + \frac{7}{7}\]
\[C_{135} = \frac{17}{7}\]
6. Теперь у нас осталась последовательная цепь из \(C_{135}\) и \(C_{24}\).
Найдем общую ёмкость \(C_{AB}\) для этой последовательной цепи:
\[\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{C_{135}} + \frac{1}{C_{24}}\]
Подставим значения:
\[\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{\frac{17}{7}} + \frac{1}{\frac{12}{7}}\]
\[\frac{1}{C_{AB}} = \frac{7}{17} + \frac{7}{12}\]
Приведем к общему знаменателю (17 * 12 = 204):
\[\frac{1}{C_{AB}} = \frac{7 \cdot 12}{17 \cdot 12} + \frac{7 \cdot 17}{12 \cdot 17}\]
\[\frac{1}{C_{AB}} = \frac{84}{204} + \frac{119}{204}\]
\[\frac{1}{C_{AB}} = \frac{84 + 119}{204}\]
\[\frac{1}{C_{AB}} = \frac{203}{204}\]
\[C_{AB} = \frac{204}{203}\]
Ответ:
Общая ёмкость цепи между точками A и B равна \(\frac{204}{203}\) условных единиц.