Решение задачи: Параллельность MN и плоскости β

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Вариант 3. Дан треугольник ABC. Точка M принадлежит стороне AB, точка N принадлежит стороне BC. Известно, что \(BM : BA = BN : BC = 3 : 5\). Через прямую AC проходит плоскость \(\beta\), не совпадающая с плоскостью треугольника ABC. 1) Докажите, что MN параллельна плоскости \(\beta\). 2) Найдите длину отрезка MN, если \(AC = 10\) см. Решение: 1) Докажем, что MN параллельна плоскости \(\beta\). Дано: Треугольник ABC. \(M \in AB\), \(N \in BC\). \(BM : BA = BN : BC = 3 : 5\). Плоскость \(\beta\) проходит через прямую AC. Плоскость \(\beta\) не совпадает с плоскостью треугольника ABC. Рассмотрим треугольник ABC. По условию, \(BM : BA = BN : BC = 3 : 5\). Это означает, что стороны AB и BC треугольника ABC пропорционально разделены точками M и N соответственно. Также, угол B является общим для треугольников MBN и ABC. Из признака подобия треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними следует, что треугольник MBN подобен треугольнику ABC. Из подобия треугольников MBN и ABC следует, что соответствующие углы равны: \(\angle BMN = \angle BAC\) \(\angle BNM = \angle BCA\) Также из подобия следует, что отношение соответствующих сторон равно коэффициенту подобия: \(MN : AC = BM : BA = BN : BC = 3 : 5\). Поскольку \(\angle BMN = \angle BAC\), а эти углы являются соответственными при прямых MN и AC и секущей AB, то прямая MN параллельна прямой AC. То есть, \(MN \parallel AC\). По условию, плоскость \(\beta\) проходит через прямую AC. Если прямая (MN) параллельна другой прямой (AC), лежащей в плоскости (\(\beta\)), то эта прямая (MN) либо лежит в этой плоскости, либо параллельна этой плоскости. Поскольку плоскость \(\beta\) не совпадает с плоскостью треугольника ABC, и прямая MN лежит в плоскости треугольника ABC, то прямая MN не может лежать в плоскости \(\beta\). Следовательно, прямая MN параллельна плоскости \(\beta\). Что и требовалось доказать. 2) Найдем длину отрезка MN, если \(AC = 10\) см. Из пункта 1) мы установили, что треугольник MBN подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия \(k = 3/5\). Отношение соответствующих сторон равно коэффициенту подобия: \(MN : AC = 3 : 5\). Нам дано, что \(AC = 10\) см. Подставим это значение в пропорцию: \(MN / 10 = 3 / 5\). Чтобы найти MN, умножим обе части уравнения на 10: \(MN = (3 / 5) * 10\). \(MN = 3 * (10 / 5)\). \(MN = 3 * 2\). \(MN = 6\) см. Ответ: 1) Доказательство приведено выше. 2) Длина отрезка MN равна 6 см.