Задача 1. Решите неравенство
\[ \frac{5 - 2x}{9} \ge \frac{x + 2}{15} - \frac{7x - 1}{5} \]
Решение:
Для начала приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел 9, 15 и 5 равно 45.
Умножим каждую часть неравенства на 45, чтобы избавиться от знаменателей:
\[ 45 \cdot \frac{5 - 2x}{9} \ge 45 \cdot \left( \frac{x + 2}{15} - \frac{7x - 1}{5} \right) \]
Раскроем скобки и сократим дроби:
\[ 5 \cdot (5 - 2x) \ge 3 \cdot (x + 2) - 9 \cdot (7x - 1) \]
Выполним умножение в каждой части неравенства:
\[ 25 - 10x \ge 3x + 6 - (63x - 9) \]
Раскроем скобки в правой части, учитывая знак минус перед скобками:
\[ 25 - 10x \ge 3x + 6 - 63x + 9 \]
Сгруппируем слагаемые с \(x\) и свободные члены в правой части:
\[ 25 - 10x \ge (3x - 63x) + (6 + 9) \]
\[ 25 - 10x \ge -60x + 15 \]
Перенесем все слагаемые с \(x\) в левую часть, а свободные члены — в правую часть неравенства. При переносе слагаемых через знак неравенства меняем их знак на противоположный:
\[ -10x + 60x \ge 15 - 25 \]
Выполним сложение и вычитание:
\[ 50x \ge -10 \]
Разделим обе части неравенства на 50. Так как 50 — положительное число, знак неравенства не меняется:
\[ x \ge \frac{-10}{50} \]
Сократим дробь:
\[ x \ge -\frac{1}{5} \]
Переведем дробь в десятичную:
\[ x \ge -0.2 \]
Таким образом, решением неравенства является интервал от -0.2 до плюс бесконечности, включая -0.2.
Запишем решение в виде интервала:
\[ x \in [-0.2; +\infty) \]
Ответ:
\[ x \in [-0.2; +\infty) \]