Решите систему неравенств
\[ \begin{cases} \frac{x}{2} < 5 \\ \frac{2x}{5} > 0 \end{cases} \]
На каком рисунке изображено множество решений системы? В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение:
Решим каждое неравенство по отдельности.
Первое неравенство:
\[ \frac{x}{2} < 5 \]
Чтобы найти \(x\), умножим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:
\[ x < 5 \cdot 2 \]
\[ x < 10 \]
Это означает, что \(x\) может быть любым числом, меньшим 10. На числовой прямой это изображается как интервал от минус бесконечности до 10, причем точка 10 не включается (обозначается выколотой точкой или кружком).
Второе неравенство:
\[ \frac{2x}{5} > 0 \]
Чтобы найти \(x\), умножим обе части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства не меняется:
\[ 2x > 0 \cdot 5 \]
\[ 2x > 0 \]
Теперь разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:
\[ x > \frac{0}{2} \]
\[ x > 0 \]
Это означает, что \(x\) может быть любым числом, большим 0. На числовой прямой это изображается как интервал от 0 до плюс бесконечности, причем точка 0 не включается (обозначается выколотой точкой или кружком).
Найдем общее решение системы:
Нам нужно найти значения \(x\), которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно:
\[ \begin{cases} x < 10 \\ x > 0 \end{cases} \]
Это означает, что \(x\) должен быть больше 0 и одновременно меньше 10. То есть \(x\) находится в интервале между 0 и 10, не включая сами точки 0 и 10.
Запишем решение в виде интервала:
\[ x \in (0; 10) \]
Изображение на числовой прямой:
На числовой прямой это будет выглядеть как отрезок между 0 и 10, где обе точки (0 и 10) обозначены выколотыми кружками, показывающими, что они не входят в решение. Область между этими точками заштрихована.
Среди предложенных вариантов рисунков, правильным является тот, где:
- Точка 0 обозначена выколотым кружком.
- Точка 10 обозначена выколотым кружком.
- Заштрихована область между 0 и 10.
Это соответствует рисунку под номером 4.
Ответ: 4