Укажите решение системы неравенств
\[ \begin{cases} 12 - 3x > 0 \\ 4x - 23 < 9 \end{cases} \]
Решение:
Решим каждое неравенство по отдельности.
Первое неравенство:
\[ 12 - 3x > 0 \]
Перенесем слагаемое \(12\) в правую часть неравенства, изменив его знак:
\[ -3x > -12 \]
Разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
\[ x < \frac{-12}{-3} \]
\[ x < 4 \]
Это означает, что \(x\) может быть любым числом, меньшим 4. В виде интервала это \((-\infty; 4)\).
Второе неравенство:
\[ 4x - 23 < 9 \]
Перенесем слагаемое \(-23\) в правую часть неравенства, изменив его знак:
\[ 4x < 9 + 23 \]
\[ 4x < 32 \]
Разделим обе части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знак неравенства не меняется:
\[ x < \frac{32}{4} \]
\[ x < 8 \]
Это означает, что \(x\) может быть любым числом, меньшим 8. В виде интервала это \((-\infty; 8)\).
Найдем общее решение системы:
Нам нужно найти значения \(x\), которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно:
\[ \begin{cases} x < 4 \\ x < 8 \end{cases} \]
Чтобы удовлетворять обоим условиям, \(x\) должен быть меньше 4 и одновременно меньше 8. Если число меньше 4, то оно автоматически будет меньше 8. Поэтому общим решением является более строгое условие:
\[ x < 4 \]
Запишем решение в виде интервала:
\[ x \in (-\infty; 4) \]
Среди предложенных вариантов ответов, правильным является \((-\infty; 4)\).
Ответ: \((-\infty; 4)\)