Решение системы неравенств

Отлично, вот решение задачи, оформленное так, чтобы школьнику было удобно переписать в тетрадь. *** Решение системы неравенств Дана система неравенств: \[ \begin{cases} -3(2 + 4x) - 2 \le -2(x - 1) \\ \frac{x - 2}{3} \ge -6 \end{cases} \] Решим каждое неравенство по отдельности. 1. Решаем первое неравенство: \[ -3(2 + 4x) - 2 \le -2(x - 1) \] Раскроем скобки в обеих частях неравенства: \[ -6 - 12x - 2 \le -2x + 2 \] Приведем подобные слагаемые: \[ -12x - 8 \le -2x + 2 \] Перенесем слагаемые с \(x\) в левую часть, а числа – в правую. При переносе слагаемых через знак неравенства их знак меняется на противоположный: \[ -12x + 2x \le 2 + 8 \] Выполним сложение и вычитание: \[ -10x \le 10 \] Разделим обе части неравенства на -10. Важно помнить, что при делении или умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: \[ x \ge \frac{10}{-10} \] \[ x \ge -1 \] Это решение можно записать в виде интервала: \([-1; +\infty)\). 2. Решаем второе неравенство: \[ \frac{x - 2}{3} \ge -6 \] Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на 3. Так как 3 – положительное число, знак неравенства не меняется: \[ (x - 2) \ge -6 \cdot 3 \] \[ x - 2 \ge -18 \] Перенесем число -2 в правую часть, изменив его знак: \[ x \ge -18 + 2 \] \[ x \ge -16 \] Это решение можно записать в виде интервала: \([-16; +\infty)\). Теперь нам нужно найти общее решение системы, то есть пересечение решений обоих неравенств. Мы получили: 1. \(x \ge -1\) 2. \(x \ge -16\) Изобразим эти решения на числовой прямой: * Решение \(x \ge -1\) включает все числа, которые больше или равны -1. * Решение \(x \ge -16\) включает все числа, которые больше или равны -16. Чтобы оба условия выполнялись одновременно, \(x\) должно быть больше или равно наибольшему из этих двух чисел. Сравниваем -1 и -16. Число -1 больше, чем -16. Значит, общим решением системы будет \(x \ge -1\). Запишем это решение в виде интервала: \([-1; +\infty)\). Сравним полученный результат с предложенными вариантами ответов: * \([-16; -1]\) * \([-1; +\infty)\) * \((-\infty; -16]\) * нет решений Наш ответ \([-1; +\infty)\) совпадает со вторым вариантом. *** **Ответ:** \([-1; +\infty)\)