Задача:
При каких значениях переменной имеет смысл выражение \( \sqrt{x+4} + \frac{3}{\sqrt{5-x}} \)?
Укажите наименьшее целое значение переменной \(x\).
Решение:
Для того чтобы выражение имело смысл, должны выполняться следующие условия:
- Подкоренное выражение в первом корне должно быть неотрицательным: \(x+4 \ge 0\).
- Подкоренное выражение во втором корне должно быть неотрицательным: \(5-x \ge 0\).
- Знаменатель дроби не может быть равен нулю: \(\sqrt{5-x} \ne 0\).
Рассмотрим каждое условие по отдельности:
Условие 1:
\(x+4 \ge 0\)
\(x \ge -4\)
Это означает, что \(x\) должен быть больше или равен \(-4\).
Условие 2:
\(5-x \ge 0\)
\(-x \ge -5\)
При умножении или делении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
\(x \le 5\)
Это означает, что \(x\) должен быть меньше или равен \(5\).
Условие 3:
\(\sqrt{5-x} \ne 0\)
Это означает, что \(5-x \ne 0\)
\(-x \ne -5\)
\(x \ne 5\)
Это означает, что \(x\) не может быть равен \(5\).
Теперь объединим все условия:
1. \(x \ge -4\)
2. \(x \le 5\)
3. \(x \ne 5\)
Из условий 2 и 3 следует, что \(x\) должен быть строго меньше \(5\), то есть \(x < 5\).
Таким образом, переменная \(x\) должна удовлетворять двойному неравенству:
\(-4 \le x < 5\)
Это интервал значений, при которых выражение имеет смысл. Нам нужно найти наименьшее целое значение \(x\) из этого интервала.
Целые числа в этом интервале: \(-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\).
Наименьшее из этих целых чисел равно \(-4\).
Ответ:
Наименьшее целое значение переменной \(x\) равно \(-4\).