Вариант 3
1. Запишите первые пять членов геометрической прогрессии, если \(b_1 = 0,5\), \(q = -4\).
Решение:
Геометрическая прогрессия определяется формулой \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\).
Нам дано: \(b_1 = 0,5\), \(q = -4\).
Найдем первые пять членов:
\(b_1 = 0,5\)
\(b_2 = b_1 \cdot q = 0,5 \cdot (-4) = -2\)
\(b_3 = b_2 \cdot q = -2 \cdot (-4) = 8\)
\(b_4 = b_3 \cdot q = 8 \cdot (-4) = -32\)
\(b_5 = b_4 \cdot q = -32 \cdot (-4) = 128\)
Ответ: \(0,5; -2; 8; -32; 128\).
2. Для геометрической прогрессии вычислите \(b_9\), если \(b_1 = -40\), \(q = 0,5\).
Решение:
Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\).
Нам дано: \(b_1 = -40\), \(q = 0,5\), \(n = 9\).
Подставим значения в формулу:
\(b_9 = b_1 \cdot q^{9-1} = b_1 \cdot q^8\)
\(b_9 = -40 \cdot (0,5)^8\)
Вычислим \( (0,5)^8 \):
\(0,5 = \frac{1}{2}\)
\( (0,5)^8 = \left(\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{1^8}{2^8} = \frac{1}{256}\)
Теперь подставим это значение обратно:
\(b_9 = -40 \cdot \frac{1}{256}\)
Сократим дробь:
\(b_9 = -\frac{40}{256}\)
Разделим числитель и знаменатель на 8:
\(40 \div 8 = 5\)
\(256 \div 8 = 32\)
\(b_9 = -\frac{5}{32}\)
Ответ: \(b_9 = -\frac{5}{32}\).
3. Запишите формулу n-ого члена геометрической прогрессии: \(\frac{1}{32}, \frac{1}{8}, \frac{1}{2}, \dots\)
Решение:
Сначала найдем первый член \(b_1\) и знаменатель \(q\) прогрессии.
Первый член: \(b_1 = \frac{1}{32}\).
Чтобы найти знаменатель \(q\), разделим второй член на первый:
\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{32}}\)
\(q = \frac{1}{8} \cdot \frac{32}{1} = \frac{32}{8} = 4\)
Проверим, разделив третий член на второй:
\(q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{8}}\)
\(q = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{1} = \frac{8}{2} = 4\)
Знаменатель \(q = 4\).
Формула n-ого члена геометрической прогрессии: \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\).
Подставим найденные значения \(b_1\) и \(q\):
\(b_n = \frac{1}{32} \cdot 4^{n-1}\)
Можно также представить \(32\) как степень двойки: \(32 = 2^5\), и \(4\) как степень двойки: \(4 = 2^2\).
\(b_n = \frac{1}{2^5} \cdot (2^2)^{n-1}\)
\(b_n = 2^{-5} \cdot 2^{2(n-1)}\)
\(b_n = 2^{-5} \cdot 2^{2n-2}\)
\(b_n = 2^{-5 + 2n - 2}\)
\(b_n = 2^{2n - 7}\)
Ответ: \(b_n = \frac{1}{32} \cdot 4^{n-1}\) или \(b_n = 2^{2n - 7}\).
4. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если \(b_1 = -5\), \(b_8 = 640\).
Решение:
Используем формулу n-ого члена геометрической прогрессии: \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\).
Нам дано: \(b_1 = -5\), \(b_8 = 640\), \(n = 8\).
Подставим значения в формулу:
\(b_8 = b_1 \cdot q^{8-1}\)
\(640 = -5 \cdot q^7\)
Разделим обе части уравнения на \(-5\):
\(q^7 = \frac{640}{-5}\)
\(q^7 = -128\)
Теперь нужно найти число, которое в седьмой степени равно \(-128\).
Мы знаем, что \(2^7 = 128\).
Так как степень нечетная, то \( (-2)^7 = -128\).
Значит, \(q = -2\).
Ответ: \(q = -2\).
5. Найдите седьмой член и знаменатель геометрической прогрессии с положительными членами, если \(b_6 = 28\), \(b_8 = 7\).
Решение:
Для геометрической прогрессии справедливо соотношение: \(b_n^2 = b_{n-k} \cdot b_{n+k}\).
В нашем случае, \(b_7\) является средним геометрическим между \(b_6\) и \(b_8\).
То есть, \(b_7^2 = b_6 \cdot b_8\).
Нам дано: \(b_6 = 28\), \(b_8 = 7\).
Подставим значения:
\(b_7^2 = 28 \cdot 7\)
\(b_7^2 = 196\)
Извлечем квадратный корень. Поскольку члены прогрессии положительные, \(b_7\) также должно быть положительным.
\(b_7 = \sqrt{196}\)
\(b_7 = 14\)
Теперь найдем знаменатель \(q\).
Мы знаем, что \(b_7 = b_6 \cdot q\).
Подставим значения \(b_7\) и \(b_6\):
\(14 = 28 \cdot q\)
\(q = \frac{14}{28}\)
\(q = \frac{1}{2}\)
Также можно найти \(q\) из соотношения \(b_8 = b_7 \cdot q\):
\(7 = 14 \cdot q\)
\(q = \frac{7}{14}\)
\(q = \frac{1}{2}\)
Ответ: Седьмой член \(b_7 = 14\), знаменатель \(q = \frac{1}{2}\).