Решение интеграла ∫x dx / (1+x²)

Вот решение задачи по нахождению неопределенных интегралов. 3. Найти неопределенный интеграл а) \[ \int \frac{x \cdot dx}{1 + x^2} \] Решение: Для решения этого интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть \( t = 1 + x^2 \). Тогда найдем дифференциал \( dt \): \( dt = (1 + x^2)' dx \) \( dt = 2x \, dx \) Из этого выражения можно выразить \( x \, dx \): \( x \, dx = \frac{1}{2} dt \) Теперь подставим \( t \) и \( x \, dx \) в исходный интеграл: \[ \int \frac{x \, dx}{1 + x^2} = \int \frac{\frac{1}{2} dt}{t} \] Вынесем константу \( \frac{1}{2} \) за знак интеграла: \[ = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt \] Интеграл от \( \frac{1}{t} \) равен \( \ln|t| \): \[ = \frac{1}{2} \ln|t| + C \] Теперь подставим обратно \( t = 1 + x^2 \): \[ = \frac{1}{2} \ln|1 + x^2| + C \] Так как \( 1 + x^2 \) всегда больше нуля, модуль можно опустить: \[ = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C \] Ответ: а) \[ \int \frac{x \cdot dx}{1 + x^2} = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C \] б) \[ \int \frac{(\sqrt{x} - 1)^2 + x}{2x^2} dx \] Решение: Сначала раскроем скобки в числителе: \( (\sqrt{x} - 1)^2 = (\sqrt{x})^2 - 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 1 + 1^2 = x - 2\sqrt{x} + 1 \) Теперь подставим это обратно в числитель: \( (\sqrt{x} - 1)^2 + x = (x - 2\sqrt{x} + 1) + x = 2x - 2\sqrt{x} + 1 \) Теперь перепишем интеграл с новым числителем: \[ \int \frac{2x - 2\sqrt{x} + 1}{2x^2} dx \] Разделим каждый член числителя на знаменатель \( 2x^2 \): \[ = \int \left( \frac{2x}{2x^2} - \frac{2\sqrt{x}}{2x^2} + \frac{1}{2x^2} \right) dx \] Упростим каждое слагаемое: \[ = \int \left( \frac{1}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^2} + \frac{1}{2x^2} \right) dx \] Перепишем \( \sqrt{x} \) как \( x^{\frac{1}{2}} \) и \( \frac{1}{x^2} \) как \( x^{-2} \): \[ = \int \left( x^{-1} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^2} + \frac{1}{2} x^{-2} \right) dx \] Упростим среднее слагаемое: \( \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^2} = x^{\frac{1}{2} - 2} = x^{\frac{1}{2} - \frac{4}{2}} = x^{-\frac{3}{2}} \) \[ = \int \left( x^{-1} - x^{-\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} x^{-2} \right) dx \] Теперь проинтегрируем каждое слагаемое отдельно, используя формулу \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) (для \( n \neq -1 \)) и \( \int x^{-1} dx = \ln|x| + C \): 1. \( \int x^{-1} dx = \ln|x| \) 2. \( \int -x^{-\frac{3}{2}} dx = - \frac{x^{-\frac{3}{2} + 1}}{-\frac{3}{2} + 1} = - \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} = 2x^{-\frac{1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{x}} \) 3. \( \int \frac{1}{2} x^{-2} dx = \frac{1}{2} \frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1} = \frac{1}{2} \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{2} x^{-1} = -\frac{1}{2x} \) Собираем все части вместе и добавляем константу интегрирования \( C \): \[ = \ln|x| + \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2x} + C \] Ответ: б) \[ \int \frac{(\sqrt{x} - 1)^2 + x}{2x^2} dx = \ln|x| + \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2x} + C \]