Задание 1.
1.а) Вычислить: \( \frac{(2\sqrt{6})^2}{25} \)
Решение:
Возведем числитель в квадрат:
\( (2\sqrt{6})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24 \)
Теперь подставим это значение в дробь:
\( \frac{24}{25} \)
Ответ: \( \frac{24}{25} \)
1.б) Вычислить: \( (\sqrt{3} - \sqrt{10})(\sqrt{3} + \sqrt{10}) \)
Решение:
Используем формулу разности квадратов: \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \)
В нашем случае \( a = \sqrt{3} \) и \( b = \sqrt{10} \)
\( (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{10})^2 = 3 - 10 = -7 \)
Ответ: \( -7 \)
1.в) Вычислить: \( \frac{\sqrt[4]{9} \cdot \sqrt{36}}{\sqrt[4]{4}} \)
Решение:
Преобразуем корни:
\( \sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3^2} = 3^{\frac{2}{4}} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \)
\( \sqrt{36} = 6 \)
\( \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \)
Подставим значения в выражение:
\( \frac{\sqrt{3} \cdot 6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \):
\( \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{6}}{2} = 3\sqrt{6} \)
Ответ: \( 3\sqrt{6} \)
1.г) Вычислить: \( \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{5})^2}{8 + \sqrt{55}} \)
Решение:
Раскроем квадрат в числителе по формуле \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \):
\( (\sqrt{11} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{11})^2 + 2\sqrt{11}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 11 + 2\sqrt{55} + 5 = 16 + 2\sqrt{55} \)
Теперь подставим это в дробь:
\( \frac{16 + 2\sqrt{55}}{8 + \sqrt{55}} \)
Вынесем 2 за скобки в числителе:
\( \frac{2(8 + \sqrt{55})}{8 + \sqrt{55}} \)
Сократим дробь:
\( 2 \)
Ответ: \( 2 \)
1.д) Вычислить: \( (\sqrt[3]{\frac{6}{7}} - \sqrt[3]{1\frac{5}{7}}) : \sqrt[3]{\frac{3}{28}} \)
Решение:
Преобразуем смешанную дробь во второе слагаемое:
\( 1\frac{5}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{12}{7} \)
Теперь выражение в скобках:
\( \sqrt[3]{\frac{6}{7}} - \sqrt[3]{\frac{12}{7}} = \sqrt[3]{\frac{6}{7}} - \sqrt[3]{\frac{2 \cdot 6}{7}} = \sqrt[3]{\frac{6}{7}} - \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{6}{7}} = \sqrt[3]{\frac{6}{7}}(1 - \sqrt[3]{2}) \)
Или можно так:
\( \sqrt[3]{\frac{6}{7}} - \sqrt[3]{\frac{12}{7}} = \sqrt[3]{\frac{6}{7}} - \sqrt[3]{\frac{6 \cdot 2}{7}} = \sqrt[3]{\frac{6}{7}} - \sqrt[3]{\frac{6}{7}} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{\frac{6}{7}}(1 - \sqrt[3]{2}) \)
Давайте попробуем по-другому. Объединим под один корень:
\( \sqrt[3]{\frac{6}{7}} - \sqrt[3]{\frac{12}{7}} = \sqrt[3]{\frac{6}{7}} - \sqrt[3]{\frac{6 \cdot 2}{7}} \)
Это не упрощает. Давайте попробуем вынести общий множитель из-под корня, если это возможно. \( \sqrt[3]{\frac{12}{7}} = \sqrt[3]{\frac{2 \cdot 6}{7}} \)
Похоже, что в условии опечатка, и должно быть что-то, что упрощается. Если это не опечатка, то выражение в скобках будет сложным. Предположим, что это \( \sqrt[3]{\frac{6}{7}} - \sqrt[3]{\frac{12}{7}} \). Тогда \( \sqrt[3]{\frac{6}{7}} - \sqrt[3]{\frac{12}{7}} = \sqrt[3]{\frac{6}{7}} - \sqrt[3]{2 \cdot \frac{6}{7}} = \sqrt[3]{\frac{6}{7}} - \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{6}{7}} = \sqrt[3]{\frac{6}{7}}(1 - \sqrt[3]{2}) \)
Теперь делим на \( \sqrt[3]{\frac{3}{28}} \):
\( \frac{\sqrt[3]{\frac{6}{7}}(1 - \sqrt[3]{2})}{\sqrt[3]{\frac{3}{28}}} = \sqrt[3]{\frac{\frac{6}{7}}{\frac{3}{28}}}(1 - \sqrt[3]{2}) \)
Вычислим дробь под корнем:
\( \frac{6}{7} : \frac{3}{28} = \frac{6}{7} \cdot \frac{28}{3} = \frac{6 \cdot 28}{7 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 7}{7 \cdot 3} = 2 \cdot 4 = 8 \)
Значит, выражение становится:
\( \sqrt[3]{8}(1 - \sqrt[3]{2}) = 2(1 - \sqrt[3]{2}) = 2 - 2\sqrt[3]{2} \)
Ответ: \( 2 - 2\sqrt[3]{2} \)
Задание 2.
2.а) Вычислить: \( \sqrt[3]{0,064} \)
Решение:
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной:
\( 0,064 = \frac{64}{1000} \)
Теперь извлечем кубический корень:
\( \sqrt[3]{\frac{64}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{1000}} = \frac{4}{10} = 0,4 \)
Ответ: \( 0,4 \)
2.б) Вычислить: \( \sqrt[3]{-128} \)
Решение:
Разложим число 128 на множители, чтобы найти куб:
\( 128 = 2 \cdot 64 = 2 \cdot 4^3 \)
Тогда:
\( \sqrt[3]{-128} = \sqrt[3]{-64 \cdot 2} = \sqrt[3]{(-4)^3 \cdot 2} = -4\sqrt[3]{2} \)
Ответ: \( -4\sqrt[3]{2} \)
2.в) Вычислить: \( \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{5} \)
Решение:
Используем свойство корней: \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \)
\( \sqrt[3]{25 \cdot 5} = \sqrt[3]{125} \)
Так как \( 5^3 = 125 \), то:
\( \sqrt[3]{125} = 5 \)
Ответ: \( 5 \)
2.г) Вычислить: \( \sqrt[3]{2^{21}} \cdot (\frac{1}{3})^7 \)
Решение:
Извлечем кубический корень из \( 2^{21} \):
\( \sqrt[3]{2^{21}} = 2^{\frac{21}{3}} = 2^7 \)
Теперь вычислим \( 2^7 \):
\( 2^7 = 128 \)
Вычислим \( (\frac{1}{3})^7 \):
\( (\frac{1}{3})^7 = \frac{1^7}{3^7} = \frac{1}{3^7} \)
Теперь умножим результаты:
\( 2^7 \cdot (\frac{1}{3})^7 = (2 \cdot \frac{1}{3})^7 = (\frac{2}{3})^7 \)
Или \( 128 \cdot \frac{1}{3^7} = \frac{128}{2187} \)
Ответ: \( (\frac{2}{3})^7 \) или \( \frac{128}{2187} \)
2.д) Вычислить: \( \sqrt[4]{81} \)
Решение:
Найдем число, которое при возведении в четвертую степень дает 81:
\( 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81 \)
Значит:
\( \sqrt[4]{81} = 3 \)
Ответ: \( 3 \)
2.е) Вычислить: \( \sqrt[3]{1\frac{9}{125}} \)
Решение:
Преобразуем смешанную дробь в неправильную:
\( 1\frac{9}{125} = \frac{1 \cdot 125 + 9}{125} = \frac{125 + 9}{125} = \frac{134}{125} \)
Теперь извлечем кубический корень:
\( \sqrt[3]{\frac{134}{125}} = \frac{\sqrt[3]{134}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{\sqrt[3]{134}}{5} \)
Число 134 не имеет целого кубического корня. \( 5^3 = 125 \), \( 6^3 = 216 \). Если в задании подразумевалось \( \sqrt[3]{1 + \frac{9}{125}} \), то это то же самое. Если же это \( \sqrt[3]{1 \cdot \frac{9}{125}} = \sqrt[3]{\frac{9}{125}} \), то:
\( \sqrt[3]{\frac{9}{125}} = \frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{\sqrt[3]{9}}{5} \)
Судя по записи, это \( \sqrt[3]{1\frac{9}{125}} \). Ответ: \( \frac{\sqrt[3]{134}}{5} \)
2.ж) Вычислить: \( \sqrt[5]{48 \cdot 162} \)
Решение:
Разложим числа на простые множители:
\( 48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3 \)
\( 162 = 2 \cdot 81 = 2 \cdot 3^4 \)
Теперь умножим их:
\( 48 \cdot 162 = (2^4 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3^4) = 2^5 \cdot 3^5 \)
Извлечем корень пятой степени:
\( \sqrt[5]{2^5 \cdot 3^5} = \sqrt[5]{(2 \cdot 3)^5} = 2 \cdot 3 = 6 \)
Ответ: \( 6 \)
2.з) Вычислить: \( \frac{\sqrt[7]{2}}{\sqrt[7]{256}} \)
Решение:
Объединим под один корень:
\( \sqrt[7]{\frac{2}{256}} \)
Сократим дробь:
\( \frac{2}{256} = \frac{1}{128} \)
Теперь извлечем корень:
\( \sqrt[7]{\frac{1}{128}} = \frac{\sqrt[7]{1}}{\sqrt[7]{128}} \)
Так как \( 2^7 = 128 \), то \( \sqrt[7]{128} = 2 \)
Значит:
\( \frac{1}{2} \)
Ответ: \( \frac{1}{2} \)
Задание 3.
3.а) Вычислить: \( \sqrt[5]{32} - 0,5\sqrt[3]{-216} \)
Решение:
Вычислим \( \sqrt[5]{32} \):
\( 2^5 = 32 \), значит \( \sqrt[5]{32} = 2 \)
Вычислим \( \sqrt[3]{-216} \):
\( (-6)^3 = -216 \), значит \( \sqrt[3]{-216} = -6 \)
Теперь подставим значения в выражение:
\( 2 - 0,5 \cdot (-6) = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5 \)
Ответ: \( 5 \)
3.б) Вычислить: \( \sqrt[4]{(2 - \sqrt{7})^4} - \sqrt{7} \)
Решение:
Используем свойство \( \sqrt[n]{a^n} = |a| \) для четных \( n \). В данном случае \( n=4 \).
\( \sqrt[4]{(2 - \sqrt{7})^4} = |2 - \sqrt{7}| \)
Сравним 2 и \( \sqrt{7} \). Так как \( 2 = \sqrt{4} \), а \( \sqrt{4} < \sqrt{7} \), то \( 2 - \sqrt{7} \) является отрицательным числом.
Для отрицательного числа \( |a| = -a \). Значит:
\( |2 - \sqrt{7}| = -(2 - \sqrt{7}) = -2 + \sqrt{7} \)
Теперь подставим это в исходное выражение:
\( -2 + \sqrt{7} - \sqrt{7} = -2 \)
Ответ: \( -2 \)
3.в) Вычислить: \( (\sqrt{18} - 3 - \sqrt{18} + 3)^2 \)
Решение:
Упростим выражение в скобках:
\( \sqrt{18} - 3 - \sqrt{18} + 3 \)
Слагаемые \( \sqrt{18} \) и \( -\sqrt{18} \) взаимно уничтожаются.
Слагаемые \( -3 \) и \( +3 \) взаимно уничтожаются.
Таким образом, выражение в скобках равно 0:
\( 0 \)
Теперь возведем 0 в квадрат:
\( 0^2 = 0 \)
Ответ: \( 0 \)