Решение неравенства x^2 - x - 6 > 0

Решим неравенство: \[x^2 - x - 6 > 0\] Шаг 1: Найдем корни квадратного уравнения, соответствующего неравенству. Для этого приравняем левую часть к нулю: \[x^2 - x - 6 = 0\] Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] В нашем случае \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -6\). Вычислим дискриминант \(D\): \[D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\] Теперь найдем корни \(x_1\) и \(x_2\): \[x_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2\] \[x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3\] Шаг 2: Отметим найденные корни на числовой прямой. Корни \(x_1 = -2\) и \(x_2 = 3\) делят числовую прямую на три интервала: \[(-\infty; -2)\] \[(-2; 3)\] \[(3; +\infty)\] Шаг 3: Определим знак выражения \(x^2 - x - 6\) на каждом интервале. Так как это парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при \(x^2\) равен \(1\), что больше нуля), то: - На интервалах вне корней (то есть \(x < -2\) и \(x > 3\)) выражение будет положительным. - На интервале между корнями (то есть \(-2 < x < 3\)) выражение будет отрицательным. Можно проверить, взяв пробные точки: - Для интервала \((-\infty; -2)\), возьмем \(x = -3\): \[(-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 > 0\] - Для интервала \((-2; 3)\), возьмем \(x = 0\): \[0^2 - 0 - 6 = -6 < 0\] - Для интервала \((3; +\infty)\), возьмем \(x = 4\): \[4^2 - 4 - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 > 0\] Шаг 4: Запишем решение неравенства. Нам нужно найти, когда \(x^2 - x - 6 > 0\). Это происходит, когда \(x < -2\) или \(x > 3\). В интервальной записи это выглядит так: \[x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)\] Ответ: \[x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)\]