Решение примера с дробями: 0,725 + 0,6 + 7/40 + 11/20

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику: Вычислите: \[ \frac{0,725 + 0,6 + \frac{7}{40} + \frac{11}{20}}{0,128 \cdot 6 - \frac{1}{4} - 0,0345 : \frac{3}{25}} \cdot 0,25 \] Решение: Сначала вычислим числитель дроби. 1. Переведем десятичные дроби в обыкновенные или наоборот, чтобы было удобнее складывать. \(0,725 = \frac{725}{1000} = \frac{145}{200} = \frac{29}{40}\) \(0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = \frac{24}{40}\) Теперь сложим все части числителя: \(0,725 + 0,6 + \frac{7}{40} + \frac{11}{20} = \frac{29}{40} + \frac{24}{40} + \frac{7}{40} + \frac{11 \cdot 2}{20 \cdot 2} = \frac{29}{40} + \frac{24}{40} + \frac{7}{40} + \frac{22}{40}\) \( = \frac{29 + 24 + 7 + 22}{40} = \frac{82}{40} = \frac{41}{20} \) Теперь вычислим знаменатель дроби. 1. Вычислим произведение: \(0,128 \cdot 6\) \(0,128 \cdot 6 = 0,768\) 2. Вычислим деление: \(0,0345 : \frac{3}{25}\) Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную дробь: \(0,0345 : \frac{3}{25} = 0,0345 \cdot \frac{25}{3}\) \(0,0345 = \frac{345}{10000}\) \( \frac{345}{10000} \cdot \frac{25}{3} = \frac{115 \cdot 3}{10000} \cdot \frac{25}{3} = \frac{115}{10000} \cdot 25 = \frac{115 \cdot 25}{10000} = \frac{2875}{10000} = 0,2875 \) 3. Теперь подставим полученные значения в знаменатель: \(0,128 \cdot 6 - \frac{1}{4} - 0,0345 : \frac{3}{25} = 0,768 - 0,25 - 0,2875\) \(0,768 - 0,25 = 0,518\) \(0,518 - 0,2875 = 0,2305\) Теперь подставим числитель и знаменатель обратно в дробь: \[ \frac{\frac{41}{20}}{0,2305} \cdot 0,25 \] Переведем \(0,2305\) в обыкновенную дробь: \(0,2305 = \frac{2305}{10000}\) \[ \frac{\frac{41}{20}}{\frac{2305}{10000}} \cdot 0,25 \] Разделим дроби: \( \frac{41}{20} : \frac{2305}{10000} = \frac{41}{20} \cdot \frac{10000}{2305} \) Сократим \(20\) и \(10000\): \(10000 : 20 = 500\) \( = \frac{41 \cdot 500}{2305} \) Разделим \(2305\) на \(41\): \(2305 : 41 = 56,219... \) (Это не целое число, значит, где-то ошибка в расчетах или в условии задачи, давайте перепроверим) Перепроверим расчеты. Числитель: \(0,725 + 0,6 + \frac{7}{40} + \frac{11}{20}\) \(0,725 = \frac{725}{1000}\) \(0,6 = \frac{6}{10}\) Приведем все к общему знаменателю \(40\): \(0,725 = \frac{725}{1000} = \frac{29}{40}\) \(0,6 = \frac{6}{10} = \frac{24}{40}\) \( \frac{7}{40} \) \( \frac{11}{20} = \frac{22}{40} \) Сумма числителя: \( \frac{29}{40} + \frac{24}{40} + \frac{7}{40} + \frac{22}{40} = \frac{29+24+7+22}{40} = \frac{82}{40} = \frac{41}{20} \) Числитель верен. Знаменатель: \(0,128 \cdot 6 - \frac{1}{4} - 0,0345 : \frac{3}{25}\) \(0,128 \cdot 6 = 0,768\) \( \frac{1}{4} = 0,25 \) \(0,0345 : \frac{3}{25} = 0,0345 \cdot \frac{25}{3} \) \(0,0345 \cdot \frac{25}{3} = \frac{0,0345 \cdot 25}{3} = \frac{0,8625}{3} = 0,2875\) Знаменатель: \(0,768 - 0,25 - 0,2875\) \(0,768 - 0,25 = 0,518\) \(0,518 - 0,2875 = 0,2305\) Знаменатель верен. Возможно, в задаче предполагается, что \(0,2305\) можно сократить с \(41\) или \(500\). Попробуем разделить \(2305\) на \(5\): \(2305 : 5 = 461\). Тогда \( \frac{41 \cdot 500}{2305} = \frac{41 \cdot 100}{461} \). \(461\) - это простое число. Значит, \(41\) не делится на \(461\), и \(100\) не делится на \(461\). Это означает, что либо в условии задачи есть ошибка, либо ответ будет в виде десятичной дроби с большим количеством знаков после запятой, что не очень удобно для школьника. Давайте еще раз внимательно посмотрим на условие. В числителе: \(0,725 + 0,6 + \frac{7}{40} + \frac{11}{20}\) \(0,725 = \frac{29}{40}\) \(0,6 = \frac{24}{40}\) \( \frac{7}{40} \) \( \frac{11}{20} = \frac{22}{40}\) Сумма: \( \frac{29+24+7+22}{40} = \frac{82}{40} = \frac{41}{20} \) В знаменателе: \(0,128 \cdot 6 - \frac{1}{4} - 0,0345 : \frac{3}{25}\) \(0,128 \cdot 6 = 0,768\) \( \frac{1}{4} = 0,25 \) \(0,0345 : \frac{3}{25} = 0,0345 \cdot \frac{25}{3} = \frac{345}{10000} \cdot \frac{25}{3} = \frac{115}{10000} \cdot 25 = \frac{2875}{10000} = 0,2875\) Знаменатель: \(0,768 - 0,25 - 0,2875 = 0,518 - 0,2875 = 0,2305\) Теперь сама дробь: \( \frac{\frac{41}{20}}{0,2305} = \frac{2,05}{0,2305} \) \(2,05 : 0,2305 \approx 8,8937... \) Возможно, в условии задачи есть опечатка, и знаменатель должен быть таким, чтобы он делился на числитель или наоборот. Давайте предположим, что в знаменателе должно быть число, которое упростит вычисления. Например, если бы знаменатель был \(0,205\), то \( \frac{2,05}{0,205} = 10 \). Но у нас \(0,2305\). Давайте попробуем перевести все в обыкновенные дроби с самого начала. Числитель: \(0,725 = \frac{725}{1000} = \frac{29}{40}\) \(0,6 = \frac{6}{10} = \frac{24}{40}\) \( \frac{7}{40} \) \( \frac{11}{20} = \frac{22}{40}\) Сумма числителя: \( \frac{29+24+7+22}{40} = \frac{82}{40} = \frac{41}{20} \) Знаменатель: \(0,128 \cdot 6 = \frac{128}{1000} \cdot 6 = \frac{128 \cdot 6}{1000} = \frac{768}{1000}\) \( \frac{1}{4} = \frac{250}{1000} \) \(0,0345 : \frac{3}{25} = \frac{345}{10000} \cdot \frac{25}{3} = \frac{115}{10000} \cdot 25 = \frac{2875}{10000} = \frac{287,5}{1000} \) Знаменатель: \( \frac{768}{1000} - \frac{250}{1000} - \frac{287,5}{1000} = \frac{768 - 250 - 287,5}{1000} = \frac{518 - 287,5}{1000} = \frac{230,5}{1000} \) Знаменатель: \( \frac{230,5}{1000} = \frac{2305}{10000} \) Теперь дробь: \( \frac{\frac{41}{20}}{\frac{2305}{10000}} = \frac{41}{20} \cdot \frac{10000}{2305} = \frac{41 \cdot 500}{2305} \) Мы уже выяснили, что \(2305\) не делится на \(41\) без остатка. \(2305 : 41 = 56,2195...\) Это указывает на то, что либо в условии задачи есть ошибка, либо ответ будет некрасивым числом. Если бы \(2305\) делилось на \(41\), то \(2305 = 41 \cdot x\). Если бы \(2305\) делилось на \(500\), то \(2305 = 500 \cdot x\). Давайте еще раз проверим деление \(0,0345 : \frac{3}{25}\). \(0,0345 \cdot \frac{25}{3} = \frac{345}{10000} \cdot \frac{25}{3} = \frac{345 \cdot 25}{10000 \cdot 3} = \frac{115 \cdot 25}{10000} = \frac{2875}{10000} = 0,2875\). Это верно. Давайте предположим, что в знаменателе должно быть \(0,205\) вместо \(0,2305\). Если бы знаменатель был \(0,205\), то: \(0,768 - 0,25 - x = 0,205\) \(0,518 - x = 0,205\) \(x = 0,518 - 0,205 = 0,313\) То есть, если бы \(0,0345 : \frac{3}{25}\) было равно \(0,313\), то знаменатель был бы \(0,205\). Но \(0,0345 : \frac{3}{25} = 0,2875\). Если задача из учебника, то обычно такие задачи имеют "красивые" ответы. Давайте еще раз посмотрим на числа. Числитель: \( \frac{41}{20} \) Знаменатель: \( \frac{2305}{10000} \) Дробь: \( \frac{41}{20} \cdot \frac{10000}{2305} = \frac{41 \cdot 500}{2305} \) Попробуем сократить \(2305\) на \(5\): \(2305 = 5 \cdot 461\). Тогда \( \frac{41 \cdot 500}{5 \cdot 461} = \frac{41 \cdot 100}{461} = \frac{4100}{461} \) \(461\) - простое число. Значит, \(4100\) не делится на \(461\) без остатка. \(4100 : 461 \approx 8,8937...\) Если это задача для школьника, то, скорее всего, в условии есть опечатка. Однако, если нужно дать точный ответ, то он будет таким. Давайте запишем решение по шагам, как если бы мы не сомневались в условии. Шаг 1: Вычислим числитель дроби. Переведем все слагаемые к общему знаменателю \(40\). \(0,725 = \frac{725}{1000} = \frac{29}{40}\) \(0,6 = \frac{6}{10} = \frac{24}{40}\) \( \frac{11}{20} = \frac{11 \cdot 2}{20 \cdot 2} = \frac{22}{40}\) Сложим все части числителя: \( \frac{29}{40} + \frac{24}{40} + \frac{7}{40} + \frac{22}{40} = \frac{29 + 24 + 7 + 22}{40} = \frac{82}{40} = \frac{41}{20} \) Числитель равен \( \frac{41}{20} \). Шаг 2: Вычислим знаменатель дроби. Вычислим первое произведение: \(0,128 \cdot 6 = 0,768\) Переведем \( \frac{1}{4} \) в десятичную дробь: \( \frac{1}{4} = 0,25 \) Вычислим деление: \(0,0345 : \frac{3}{25} = 0,0345 \cdot \frac{25}{3} = \frac{0,0345 \cdot 25}{3} = \frac{0,8625}{3} = 0,2875\) Теперь подставим эти значения в знаменатель: \(0,768 - 0,25 - 0,2875 = 0,518 - 0,2875 = 0,2305\) Знаменатель равен \(0,2305\). Шаг 3: Вычислим значение дроби. Дробь имеет вид: \( \frac{\frac{41}{20}}{0,2305} \) Переведем \( \frac{41}{20} \) в десятичную дробь: \( \frac{41}{20} = 2,05 \) Теперь разделим: \( \frac{2,05}{0,2305} \) \( \frac{2,05}{0,2305} = \frac{20500}{2305} \) (умножили числитель и знаменатель на \(10000\), чтобы избавиться от десятичных дробей) Сократим дробь на \(5\): \(20500 : 5 = 4100\) \(2305 : 5 = 461\) Получаем: \( \frac{4100}{461} \) Это несократимая дробь, так как \(461\) - простое число. Шаг 4: Умножим полученное значение на \(0,25\). \( \frac{4100}{461} \cdot 0,25 \) \(0,25 = \frac{1}{4}\) \( \frac{4100}{461} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4100}{461 \cdot 4} = \frac{4100}{1844} \) Сократим дробь на \(4\): \(4100 : 4 = 1025\) \(1844 : 4 = 461\) Окончательный результат: \( \frac{1025}{461} \) Если требуется десятичный ответ, то: \( \frac{1025}{461} \approx 2,2234273318872017... \) Ответ: \[ \frac{1025}{461} \]