Решение определённых интегралов: ∫dx и ∫cos2x/(1+sin2x)dx

Вот решение задачи по вычислению определённых интегралов. Вычислить определённый интеграл. а) \[ \int_{0}^{1} dx \] Решение: Первообразная функции \( f(x) = 1 \) равна \( x \). Применяем формулу Ньютона-Лейбница: \[ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \] где \( F(x) \) - первообразная функции \( f(x) \). В нашем случае \( f(x) = 1 \), \( F(x) = x \), \( a = 0 \), \( b = 1 \). \[ \int_{0}^{1} dx = [x]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1 \] Ответ: 1 б) \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos 2x}{1 + \sin 2x} dx \] Решение: Для вычисления этого интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть \( t = 1 + \sin 2x \). Тогда найдём дифференциал \( dt \): \[ dt = d(1 + \sin 2x) = (0 + \cos 2x \cdot 2) dx = 2 \cos 2x dx \] Отсюда выразим \( \cos 2x dx \): \[ \cos 2x dx = \frac{1}{2} dt \] Теперь изменим пределы интегрирования в соответствии с новой переменной \( t \): Нижний предел: при \( x = \frac{\pi}{6} \) \[ t_1 = 1 + \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = 1 + \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \] Верхний предел: при \( x = \frac{\pi}{4} \) \[ t_2 = 1 + \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = 1 + \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 1 = 2 \] Теперь подставим новую переменную и новые пределы в интеграл: \[ \int_{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}^{2} \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int_{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}^{2} \frac{1}{t} dt \] Первообразная функции \( \frac{1}{t} \) равна \( \ln|t| \). Применяем формулу Ньютона-Лейбница: \[ \frac{1}{2} [\ln|t|]_{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}^{2} = \frac{1}{2} \left( \ln|2| - \ln\left|1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right| \right) \] Так как \( 2 > 0 \) и \( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} > 0 \), модули можно опустить: \[ \frac{1}{2} \left( \ln 2 - \ln\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right) \] Используя свойство логарифмов \( \ln a - \ln b = \ln \left(\frac{a}{b}\right) \): \[ \frac{1}{2} \ln\left(\frac{2}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}\right) \] Упростим выражение в скобках: \[ \frac{2}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}} = \frac{2 \cdot 2}{2 + \sqrt{3}} = \frac{4}{2 + \sqrt{3}} \] Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( (2 - \sqrt{3}) \): \[ \frac{4}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{4(2 - \sqrt{3})}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = \frac{4(2 - \sqrt{3})}{1} = 8 - 4\sqrt{3} \] Таким образом, окончательный ответ: \[ \frac{1}{2} \ln(8 - 4\sqrt{3}) \] Ответ: \( \frac{1}{2} \ln(8 - 4\sqrt{3}) \)