Решение задачи по дифракции Фраунгофера на решетке

Вот решение задач по дифракции Фраунгофера на решетке, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Расчетное задание 9. Найдите отношение \(d/b\), используя график (рис.2) распределения интенсивности светового потока при дифракции Фраунгофера на решетке (нормальное падение), \(b\) – ширина щели в решетке, \(d\) – период. Ответ объясните. Решение: Для дифракционной решетки интенсивность света определяется двумя факторами: дифракцией на одной щели и интерференцией от всех щелей. Минимумы дифракции на одной щели определяются условием: \[b \sin\theta = k \lambda\] где \(k = \pm 1, \pm 2, \dots\) Максимумы интерференции от всех щелей (главные максимумы) определяются условием: \[d \sin\theta = m \lambda\] где \(m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots\) На графике (рис. 2) видно, что огибающая интенсивности (пунктирная линия) соответствует дифракции на одной щели. Главные максимумы дифракционной решетки расположены внутри этой огибающей. Первый минимум дифракции на одной щели (при \(k=1\)) находится там, где интенсивность огибающей падает до нуля. Из графика видно, что первый минимум огибающей находится при \(\sin\theta = \frac{4\lambda}{d}\). Следовательно, для первого минимума дифракции на одной щели: \[b \sin\theta = 1 \cdot \lambda\] Подставляем значение \(\sin\theta\) из графика: \[b \left(\frac{4\lambda}{d}\right) = \lambda\] Сокращаем \(\lambda\) с обеих сторон: \[\frac{4b}{d} = 1\] Отсюда находим отношение \(d/b\): \[\frac{d}{b} = 4\] Ответ: Отношение \(d/b = 4\). Это означает, что период решетки в 4 раза больше ширины одной щели. 10. Чему равно количество \(N\) освещенных щелей решетки в данном случае? Решение: Количество щелей \(N\) в дифракционной решетке можно определить по числу дополнительных минимумов между главными максимумами. Между двумя соседними главными максимумами всегда находится \(N-1\) минимумов и \(N-2\) второстепенных максимумов. На графике (рис. 2) между центральным главным максимумом (\(m=0\)) и первым главным максимумом (\(m=1\)) видно 3 второстепенных максимума. Если между главными максимумами 3 второстепенных максимума, то это означает, что \(N-2 = 3\). Следовательно: \[N-2 = 3\] \[N = 3+2\] \[N = 5\] Ответ: Количество освещенных щелей решетки \(N = 5\). 11. Во сколько раз изменится максимальный порядок спектра при дифракции света на решетке (нормальное падение) при замене монохроматического света \(\lambda_1 = 400\) нм на свет \(\lambda_2 = 600\) нм. Решение: Максимальный порядок спектра \(m_{max}\) определяется условием для главных максимумов: \[d \sin\theta = m \lambda\] Поскольку \(\sin\theta\) не может быть больше 1, максимальный порядок спектра достигается при \(\sin\theta = 1\). Тогда: \[d \cdot 1 = m_{max} \lambda\] \[m_{max} = \frac{d}{\lambda}\] Для первого света с длиной волны \(\lambda_1 = 400\) нм: \[m_{max1} = \frac{d}{\lambda_1}\] Для второго света с длиной волны \(\lambda_2 = 600\) нм: \[m_{max2} = \frac{d}{\lambda_2}\] Нам нужно найти, во сколько раз изменится максимальный порядок спектра, то есть отношение \(\frac{m_{max1}}{m_{max2}}\) или \(\frac{m_{max2}}{m_{max1}}\). Давайте найдем отношение \(\frac{m_{max1}}{m_{max2}}\): \[\frac{m_{max1}}{m_{max2}} = \frac{d/\lambda_1}{d/\lambda_2} = \frac{d}{\lambda_1} \cdot \frac{\lambda_2}{d} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}\] Подставляем значения длин волн: \[\frac{m_{max1}}{m_{max2}} = \frac{600 \text{ нм}}{400 \text{ нм}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5\] Это означает, что \(m_{max1} = 1.5 \cdot m_{max2}\). То есть, максимальный порядок спектра для \(\lambda_1\) в 1.5 раза больше, чем для \(\lambda_2\). Или, если смотреть на изменение при замене \(\lambda_1\) на \(\lambda_2\), то максимальный порядок спектра уменьшится в 1.5 раза. \[\frac{m_{max2}}{m_{max1}} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{400 \text{ нм}}{600 \text{ нм}} = \frac{2}{3}\] Максимальный порядок спектра изменится в \(\frac{2}{3}\) раза, то есть уменьшится в 1.5 раза. Ответ: Максимальный порядок спектра уменьшится в 1.5 раза.