Задача:
Пусть \(\vec{x} = \vec{m} + \vec{n}\) и \(\vec{y} = \vec{m} - \vec{n}\). Выразите через \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) вектор \(2\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}\).
Решение:
Нам даны два вектора \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\), выраженные через векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\):
1. \(\vec{x} = \vec{m} + \vec{n}\)
2. \(\vec{y} = \vec{m} - \vec{n}\)
Нам нужно найти выражение для вектора \(2\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}\) через \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\).
Шаг 1: Подставим выражения для \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) в искомое выражение.
\[2\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y} = 2(\vec{m} + \vec{n}) + \frac{1}{2}(\vec{m} - \vec{n})\]
Шаг 2: Раскроем скобки, умножая каждый член в скобках на соответствующий коэффициент.
\[2(\vec{m} + \vec{n}) = 2\vec{m} + 2\vec{n}\]
\[\frac{1}{2}(\vec{m} - \vec{n}) = \frac{1}{2}\vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n}\]
Теперь подставим эти результаты обратно в наше выражение:
\[2\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y} = (2\vec{m} + 2\vec{n}) + (\frac{1}{2}\vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n})\]
Шаг 3: Сгруппируем члены с \(\vec{m}\) и члены с \(\vec{n}\).
\[2\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y} = (2\vec{m} + \frac{1}{2}\vec{m}) + (2\vec{n} - \frac{1}{2}\vec{n})\]
Шаг 4: Выполним сложение и вычитание коэффициентов.
Для \(\vec{m}\):
\[2 + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\]
Значит, \(2\vec{m} + \frac{1}{2}\vec{m} = 2.5\vec{m}\).
Для \(\vec{n}\):
\[2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5\]
Значит, \(2\vec{n} - \frac{1}{2}\vec{n} = 1.5\vec{n}\).
Шаг 5: Запишем окончательный результат.
\[2\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y} = 2.5\vec{m} + 1.5\vec{n}\]
Ответ:
Вектор \(2\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}\) выражается как \(2.5\vec{m} + 1.5\vec{n}\).