Задача 7. Средняя
Применение векторов к решению задач
ABCD — трапеция, \(BC = \frac{1}{2}AD\), \(\vec{DA} = \vec{n}\), \(\vec{DC} = \vec{m}\). Выразите через \(\vec{n}\) и \(\vec{m}\) векторы \(\vec{DB}\), \(\vec{CA}\), \(\vec{BM}\), \(\vec{MC}\).
Дано:
- ABCD — трапеция.
- \(BC = \frac{1}{2}AD\).
- \(\vec{DA} = \vec{n}\).
- \(\vec{DC} = \vec{m}\).
- \(M\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\).
Найти: \(\vec{DB}\), \(\vec{CA}\), \(\vec{BM}\), \(\vec{MC}\) через \(\vec{n}\) и \(\vec{m}\).
Решение:
1. Выразим основные векторы:
Из условия \(\vec{DA} = \vec{n}\) следует, что \(\vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{n}\).
Из условия \(\vec{DC} = \vec{m}\).
Поскольку ABCD — трапеция, то основания \(AD\) и \(BC\) параллельны. Из условия \(BC = \frac{1}{2}AD\) и параллельности следует, что \(\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AD}\).
Тогда \(\vec{BC} = \frac{1}{2}(-\vec{n}) = -\frac{1}{2}\vec{n}\).
2. Выразим вектор \(\vec{DB}\):
Используем правило треугольника для вектора \(\vec{DB}\) в треугольнике \(DAB\):
\[\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB}\]
Нам нужно найти \(\vec{AB}\). Используем правило многоугольника для \(\vec{AB}\) через \(\vec{AD}\), \(\vec{DC}\), \(\vec{CB}\):
\[\vec{AB} = \vec{AD} + \vec{DC} + \vec{CB}\]
Подставим известные векторы:
\[\vec{AB} = (-\vec{n}) + \vec{m} + (-\vec{BC})\]
Мы знаем, что \(\vec{BC} = -\frac{1}{2}\vec{n}\), значит \(\vec{CB} = -\vec{BC} = -(-\frac{1}{2}\vec{n}) = \frac{1}{2}\vec{n}\).
Тогда:
\[\vec{AB} = -\vec{n} + \vec{m} + \frac{1}{2}\vec{n}\]
\[\vec{AB} = \vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n}\]
Теперь подставим \(\vec{AB}\) в выражение для \(\vec{DB}\):
\[\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB}\]
\[\vec{DB} = \vec{n} + (\vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n})\]
\[\vec{DB} = \vec{n} + \vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n}\]
\[\vec{DB} = \vec{m} + \frac{1}{2}\vec{n}\]
3. Выразим вектор \(\vec{CA}\):
Используем правило треугольника для вектора \(\vec{CA}\) в треугольнике \(CDA\):
\[\vec{CA} = \vec{CD} + \vec{DA}\]
Мы знаем, что \(\vec{DC} = \vec{m}\), значит \(\vec{CD} = -\vec{DC} = -\vec{m}\).
\[\vec{CA} = -\vec{m} + \vec{n}\]
\[\vec{CA} = \vec{n} - \vec{m}\]
4. Выразим векторы \(\vec{BM}\) и \(\vec{MC}\):
Точка \(M\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\). В трапеции диагонали делятся в отношении, равном отношению длин оснований.
Треугольники \(\triangle BMC\) и \(\triangle DMA\) подобны по двум углам (углы при вершине \(M\) вертикальные, углы \(\angle MBC\) и \(\angle MDA\) — накрест лежащие при параллельных \(BC\) и \(AD\) и секущей \(BD\)).
Коэффициент подобия \(k = \frac{BC}{AD} = \frac{\frac{1}{2}AD}{AD} = \frac{1}{2}\).
Следовательно, \(\frac{BM}{MD} = \frac{CM}{MA} = \frac{BC}{AD} = \frac{1}{2}\).
Это означает, что \(\vec{BM} = \frac{1}{1+2}\vec{BD} = \frac{1}{3}\vec{BD}\) и \(\vec{MC} = \frac{1}{1+2}\vec{MA} = \frac{1}{3}\vec{MA}\) (если смотреть от \(B\) к \(D\) и от \(C\) к \(A\)).
Или, если смотреть от \(B\) к \(D\), то \(BM = \frac{1}{3}BD\), а \(MD = \frac{2}{3}BD\).
Или, если смотреть от \(A\) к \(C\), то \(AM = \frac{2}{3}AC\), а \(MC = \frac{1}{3}AC\).
Давайте выразим \(\vec{BM}\) через \(\vec{BD}\).
\[\vec{BM} = \frac{1}{3}\vec{BD}\]
Мы уже нашли \(\vec{DB} = \vec{m} + \frac{1}{2}\vec{n}\). Значит, \(\vec{BD} = -\vec{DB} = -(\vec{m} + \frac{1}{2}\vec{n}) = -\vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n}\).
\[\vec{BM} = \frac{1}{3}(-\vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n})\]
\[\vec{BM} = -\frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{6}\vec{n}\]
Теперь выразим \(\vec{MC}\) через \(\vec{AC}\).
\[\vec{MC} = \frac{1}{3}\vec{AC}\]
Мы знаем, что \(\vec{CA} = \vec{n} - \vec{m}\). Значит, \(\vec{AC} = -\vec{CA} = -(\vec{n} - \vec{m}) = \vec{m} - \vec{n}\).
\[\vec{MC} = \frac{1}{3}(\vec{m} - \vec{n})\]
\[\vec{MC} = \frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{3}\vec{n}\]
Соберем все ответы:
1. \(\vec{DB} = \vec{m} + \frac{1}{2}\vec{n}\)
2. \(\vec{CA} = \vec{n} - \vec{m}\)
3. \(\vec{BM} = -\frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{6}\vec{n}\)
4. \(\vec{MC} = \frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{3}\vec{n}\)
Проверим варианты ответов, которые даны в задании (на изображении):
Варианты, которые видны на изображении:
- \(\frac{1}{2}\vec{n}\)
- \(\vec{n} - \vec{m}\)
- \(-\frac{1}{3}\vec{n} + \frac{1}{3}\vec{m}\) (это \(\frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{3}\vec{n}\))
- \(\vec{m} + \frac{1}{2}\vec{n}\)
- \(\frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{6}\vec{n}\) (это не совпадает с нашим \(\vec{BM}\) или \(\vec{MC}\))
Давайте внимательно посмотрим на \(\vec{BM}\) и \(\vec{MC}\) еще раз.
Мы получили: \(\vec{BM} = -\frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{6}\vec{n}\) \(\vec{MC} = \frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{3}\vec{n}\)
Среди предложенных вариантов есть:
1. \(\frac{1}{2}\vec{n}\) (не подходит)
2. \(\vec{n} - \vec{m}\) (подходит для \(\vec{CA}\))
3. \(-\frac{1}{3}\vec{n} + \frac{1}{3}\vec{m}\) (это \(\frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{3}\vec{n}\), подходит для \(\vec{MC}\))
4. \(\vec{m} + \frac{1}{2}\vec{n}\) (подходит для \(\vec{DB}\))
5. \(\frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{6}\vec{n}\) (не подходит ни для \(\vec{BM}\), ни для \(\vec{MC}\) в нашем расчете)
Возможно, я ошибся в расчете \(\vec{BM}\) или \(\vec{MC}\), или в интерпретации коэффициентов подобия.
Давайте перепроверим \(\vec{BM}\) и \(\vec{MC}\).
Вектор \(\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD}\). \(\vec{BA} = -\vec{AB} = -(\vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n}) = -\vec{m} + \frac{1}{2}\vec{n}\). \(\vec{BD} = (-\vec{m} + \frac{1}{2}\vec{n}) + (-\vec{n}) = -\vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n}\). Это совпадает с \(\vec{BD} = -\vec{DB}\) из предыдущего расчета.
\[\vec{BM} = \frac{1}{3}\vec{BD} = \frac{1}{3}(-\vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n}) = -\frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{6}\vec{n}\]. Это верно.
Вектор \(\vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC}\). \(\vec{AC} = -\vec{n} + \vec{m} = \vec{m} - \vec{n}\). Это совпадает с \(\vec{AC} = -\vec{CA}\) из предыдущего расчета.
\[\vec{MC} = \frac{1}{3}\vec{AC} = \frac{1}{3}(\vec{m} - \vec{n}) = \frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{3}\vec{n}\]. Это верно.
Значит, наши расчеты верны. Среди предложенных вариантов есть:
- \(\vec{DB} = \vec{m} + \frac{1}{2}\vec{n}\)
- \(\vec{CA} = \vec{n} - \vec{m}\)
- \(\vec{MC} = \frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{3}\vec{n}\) (этот вариант есть как \(-\frac{1}{3}\vec{n} + \frac{1}{3}\vec{m}\))
Для \(\vec{BM}\) мы получили \(-\frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{6}\vec{n}\). Среди предложенных вариантов нет такого. Есть вариант \(\frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{6}\vec{n}\). Это не \(\vec{BM}\).
Возможно, в задании есть опечатка в одном из вариантов ответа, или я неправильно прочитал один из вариантов. Давайте еще раз посмотрим на изображение с вариантами.
Варианты, которые видны:
- \(\frac{1}{2}\vec{n}\)
- \(\vec{n} - \vec{m}\)
- \(-\frac{1}{3}\vec{n} + \frac{1}{3}\vec{m}\)
- \(\vec{m} + \frac{1}{2}\vec{n}\)
- \(\frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{6}\vec{n}\)
Сопоставим наши результаты с этими вариантами:
- \(\vec{DB} = \vec{m} + \frac{1}{2}\vec{n}\) (совпадает с вариантом 4)
- \(\vec{CA} = \vec{n} - \vec{m}\) (совпадает с вариантом 2)
- \(\vec{MC} = \frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{3}\vec{n}\) (совпадает с вариантом 3, так как \(-\frac{1}{3}\vec{n} + \frac{1}{3}\vec{m} = \frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{3}\vec{n}\))
Остался \(\vec{BM}\). Мы получили \(\vec{BM} = -\frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{6}\vec{n}\). Вариант 5: \(\frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{6}\vec{n}\). Это не совпадает.
Давайте еще раз проверим \(\vec{BM}\). \(\vec{BM} = \vec{BC} + \vec{CM}\). \(\vec{BC} = -\frac{1}{2}\vec{n}\). \(\vec{CM} = -\vec{MC} = -(\frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{3}\vec{n}) = -\frac{1}{3}\vec{m} + \frac{1}{3}\vec{n}\). \(\vec{BM} = -\frac{1}{2}\vec{n} - \frac{1}{3}\vec{m} + \frac{1}{3}\vec{n}\) \(\vec{BM} = -\frac{1}{3}\vec{m} + (-\frac{1}{2} + \frac{1}{3})\vec{n}\) \(\vec{BM} = -\frac{1}{3}\vec{m} + (-\frac{3}{6} + \frac{2}{6})\vec{n}\) \(\vec{BM} = -\frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{6}\vec{n}\). Расчет верен.
Возможно, в вариантах ответа есть ошибка, или я неверно прочитал один из вариантов. Если бы вариант 5 был \(\frac{1