Решение задачи: графики ускорения, скорости и координаты

Задача 1. Ускорение ракетной тележки от старта до остановки в течение первых 6 с составляет 100 м/с², затем в течение 7 с она двигается без ускорения, а последние 3 с тележка имеет отрицательное ускорение – 200 м/с². Постройте графики зависимости от времени ускорения, скорости и координаты.

Дано:

• Первый участок: \(a_1 = 100 \text{ м/с}^2\), \(t_1 = 6 \text{ с}\)
• Второй участок: \(a_2 = 0 \text{ м/с}^2\), \(t_2 = 7 \text{ с}\)
• Третий участок: \(a_3 = -200 \text{ м/с}^2\), \(t_3 = 3 \text{ с}\)

Найти:

• График \(a(t)\)
• График \(v(t)\)
• График \(x(t)\)

Решение:

1. График зависимости ускорения от времени \(a(t)\).

Ускорение задано кусочно-постоянной функцией:

• При \(0 \le t \le 6 \text{ с}\): \(a(t) = a_1 = 100 \text{ м/с}^2\)
• При \(6 < t \le 6+7 = 13 \text{ с}\): \(a(t) = a_2 = 0 \text{ м/с}^2\)
• При \(13 < t \le 13+3 = 16 \text{ с}\): \(a(t) = a_3 = -200 \text{ м/с}^2\)

График \(a(t)\) будет состоять из горизонтальных отрезков.

2. График зависимости скорости от времени \(v(t)\).

Начальная скорость тележки \(v_0 = 0 \text{ м/с}\) (от старта).

Участок 1: \(0 \le t \le 6 \text{ с}\)

Движение равноускоренное. Формула скорости: \(v(t) = v_0 + a_1 t\)

В начале участка: \(v(0) = 0 \text{ м/с}\)

В конце участка (при \(t = 6 \text{ с}\)): \(v(6) = 0 + 100 \cdot 6 = 600 \text{ м/с}\)

На этом участке график \(v(t)\) – прямая линия, идущая из начала координат.

Участок 2: \(6 < t \le 13 \text{ с}\)

Движение равномерное (без ускорения). Скорость постоянна и равна скорости в конце первого участка.

Начальная скорость для этого участка: \(v(6) = 600 \text{ м/с}\)

В конце участка (при \(t = 13 \text{ с}\)): \(v(13) = v(6) + a_2 \cdot (13-6) = 600 + 0 \cdot 7 = 600 \text{ м/с}\)

На этом участке график \(v(t)\) – горизонтальная прямая.

Участок 3: \(13 < t \le 16 \text{ с}\)

Движение равнозамедленное. Начальная скорость для этого участка: \(v(13) = 600 \text{ м/с}\)

Формула скорости: \(v(t) = v(13) + a_3 \cdot (t - 13)\)

В конце участка (при \(t = 16 \text{ с}\)): \(v(16) = 600 + (-200) \cdot (16 - 13) = 600 - 200 \cdot 3 = 600 - 600 = 0 \text{ м/с}\)

Тележка остановилась, что соответствует условию задачи. На этом участке график \(v(t)\) – прямая линия, идущая вниз.

3. График зависимости координаты от времени \(x(t)\).

Начальная координата тележки \(x_0 = 0 \text{ м}\) (от старта).

Участок 1: \(0 \le t \le 6 \text{ с}\)

Движение равноускоренное. Формула координаты: \(x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a_1 t^2\)

В начале участка: \(x(0) = 0 \text{ м}\)

В конце участка (при \(t = 6 \text{ с}\)): \(x(6) = 0 + 0 \cdot 6 + \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 6^2 = 50 \cdot 36 = 1800 \text{ м}\)

На этом участке график \(x(t)\) – парабола, ветви которой направлены вверх.

Участок 2: \(6 < t \le 13 \text{ с}\)

Движение равномерное. Начальная координата для этого участка: \(x(6) = 1800 \text{ м}\)

Начальная скорость для этого участка: \(v(6) = 600 \text{ м/с}\)

Формула координаты: \(x(t) = x(6) + v(6) \cdot (t - 6)\)

В конце участка (при \(t = 13 \text{ с}\)): \(x(13) = 1800 + 600 \cdot (13 - 6) = 1800 + 600 \cdot 7 = 1800 + 4200 = 6000 \text{ м}\)

На этом участке график \(x(t)\) – прямая линия с постоянным положительным наклоном.

Участок 3: \(13 < t \le 16 \text{ с}\)

Движение равнозамедленное. Начальная координата для этого участка: \(x(13) = 6000 \text{ м}\)

Начальная скорость для этого участка: \(v(13) = 600 \text{ м/с}\)

Формула координаты: \(x(t) = x(13) + v(13) \cdot (t - 13) + \frac{1}{2} a_3 \cdot (t - 13)^2\)

В конце участка (при \(t = 16 \text{ с}\)): \(x(16) = 6000 + 600 \cdot (16 - 13) + \frac{1}{2} \cdot (-200) \cdot (16 - 13)^2\)

\(x(16) = 6000 + 600 \cdot 3 - 100 \cdot 3^2 = 6000 + 1800 - 100 \cdot 9 = 7800 - 900 = 6900 \text{ м}\)

На этом участке график \(x(t)\) – парабола, ветви которой направлены вниз. В конце участка скорость равна нулю, что соответствует вершине параболы.

Итоговые значения для построения графиков:

Для \(a(t)\):

• \(a(t) = 100 \text{ м/с}^2\) при \(0 \le t \le 6 \text{ с}\)
• \(a(t) = 0 \text{ м/с}^2\) при \(6 < t \le 13 \text{ с}\)
• \(a(t) = -200 \text{ м/с}^2\) при \(13 < t \le 16 \text{ с}\)

Для \(v(t)\):

• \(v(0) = 0 \text{ м/с}\)
• \(v(6) = 600 \text{ м/с}\)
• \(v(13) = 600 \text{ м/с}\)
• \(v(16) = 0 \text{ м/с}\)

Для \(x(t)\):

• \(x(0) = 0 \text{ м}\)
• \(x(6) = 1800 \text{ м}\)
• \(x(13) = 6000 \text{ м}\)
• \(x(16) = 6900 \text{ м}\)

Построение графиков:

Для построения графиков необходимо начертить три координатные плоскости: \(a(t)\), \(v(t)\) и \(x(t)\). По оси абсцисс (горизонтальной) откладывается время \(t\) в секундах, по оси ординат (вертикальной) – соответствующие величины.

График \(a(t)\):

На оси времени отметки 0, 6, 13, 16 с. На оси ускорения отметки 100 и -200 м/с².

• От 0 до 6 с – горизонтальный отрезок на уровне 100.
• От 6 до 13 с – горизонтальный отрезок на уровне 0 (по оси времени).
• От 13 до 16 с – горизонтальный отрезок на уровне -200.

График \(v(t)\):

На оси времени отметки 0, 6, 13, 16 с. На оси скорости отметки 0 и 600 м/с.

• От 0 до 6 с – прямая линия, идущая из (0,0) в (6, 600).
• От 6 до 13 с – горизонтальный отрезок на уровне 600.
• От 13 до 16 с – прямая линия, идущая из (13, 600) в (16, 0).

График \(x(t)\):

На оси времени отметки 0, 6, 13, 16 с. На оси координаты отметки 0, 1800, 6000, 6900 м.

• От 0 до 6 с – участок параболы, начинающийся в (0,0) и заканчивающийся в (6, 1800). Ветви вверх.
• От 6 до 13 с – прямая линия, идущая из (6, 1800) в (13, 6000).
• От 13 до 16 с – участок параболы, начинающийся в (13, 6000) и заканчивающийся в (16, 6900). Ветви вниз. В точке (16, 6900) касательная к параболе будет горизонтальной, так как скорость в этот момент равна нулю.

Ответ: Графики зависимости ускорения, скорости и координаты от времени построены в соответствии с расчетами.