Решение задачи о средней линии равнобедренной трапеции KLMN

Решим задачу по геометрии. Условие задачи: Дано: KLMN – трапеция, KL = MN, MH \(\perp\) KN, KH = 9 см. Найти: среднюю линию EF трапеции KLMN. Решение: 1. Поскольку KLMN – трапеция и KL = MN, это означает, что трапеция равнобедренная. 2. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. То есть \(\angle K = \angle N\). 3. Проведем высоту из вершины L к основанию KN. Обозначим точку пересечения с KN как P. Тогда LP \(\perp\) KN. 4. Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\triangle KLP\) и \(\triangle MHN\). У нас есть: * KL = MN (дано, боковые стороны равнобедренной трапеции) * \(\angle K = \angle N\) (углы при основании равнобедренной трапеции) * \(\angle KPL = \angle MHN = 90^\circ\) (по построению высот) Следовательно, прямоугольные треугольники \(\triangle KLP\) и \(\triangle MHN\) равны по гипотенузе и острому углу. 5. Из равенства треугольников следует, что KP = HN. 6. Мы знаем, что KH = 9 см. В равнобедренной трапеции, если провести две высоты из вершин верхнего основания к нижнему основанию, то отрезки, отсекаемые на нижнем основании по краям, будут равны. То есть KP = HN. Отрезок PHML является прямоугольником, так как LM \(\parallel\) KN и LP \(\perp\) KN, MH \(\perp\) KN. Значит, LM = PH. 7. У нас есть KH = 9 см. Это отрезок от вершины K до основания высоты MH. В равнобедренной трапеции, если провести высоту MH, то отрезок KH равен полусумме оснований. Это свойство равнобедренной трапеции: отрезок, соединяющий вершину нижнего основания с основанием высоты, опущенной из вершины верхнего основания, равен полусумме оснований. То есть, \(KH = \frac{KN + LM}{2}\). 8. Средняя линия трапеции EF вычисляется по формуле: \(EF = \frac{KN + LM}{2}\). 9. Сравнивая формулы из пунктов 7 и 8, мы видим, что \(EF = KH\). 10. Подставляем известное значение KH: \(EF = 9\) см. Ответ: Средняя линия EF трапеции KLMN равна 9 см.