Выражение вектора AO через BA и BC: решение задачи по геометрии

Решим задачу по векторам. Условие задачи: Точка O – середина медианы BK треугольника ABC. Выразите вектор \(\vec{AO}\) через векторы \(\vec{m} = \vec{BA}\) и \(\vec{n} = \vec{BC}\). Решение: 1. Для начала выразим вектор \(\vec{AK}\). Так как BK – медиана, то точка K является серединой стороны AC. По правилу треугольника для векторов, \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}\). Мы знаем, что \(\vec{BA} = \vec{m}\), значит \(\vec{AB} = -\vec{BA} = -\vec{m}\). Также дано \(\vec{BC} = \vec{n}\). Тогда \(\vec{AC} = -\vec{m} + \vec{n}\). Поскольку K – середина AC, то \(\vec{AK} = \frac{1}{2} \vec{AC}\). Значит, \(\vec{AK} = \frac{1}{2} (-\vec{m} + \vec{n})\). 2. Теперь выразим вектор \(\vec{BK}\). По правилу треугольника, \(\vec{BK} = \vec{BA} + \vec{AK}\). Подставим известные значения: \(\vec{BK} = \vec{m} + \frac{1}{2} (-\vec{m} + \vec{n})\) \(\vec{BK} = \vec{m} - \frac{1}{2}\vec{m} + \frac{1}{2}\vec{n}\) \(\vec{BK} = \frac{1}{2}\vec{m} + \frac{1}{2}\vec{n}\). 3. Точка O – середина медианы BK. Значит, \(\vec{BO} = \frac{1}{2} \vec{BK}\). Подставим выражение для \(\vec{BK}\): \(\vec{BO} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\vec{m} + \frac{1}{2}\vec{n} \right)\) \(\vec{BO} = \frac{1}{4}\vec{m} + \frac{1}{4}\vec{n}\). 4. Наконец, выразим вектор \(\vec{AO}\). По правилу треугольника, \(\vec{AO} = \vec{AB} + \vec{BO}\). Мы знаем, что \(\vec{AB} = -\vec{m}\). Подставим выражения для \(\vec{AB}\) и \(\vec{BO}\): \(\vec{AO} = -\vec{m} + \left( \frac{1}{4}\vec{m} + \frac{1}{4}\vec{n} \right)\) \(\vec{AO} = -\vec{m} + \frac{1}{4}\vec{m} + \frac{1}{4}\vec{n}\) \(\vec{AO} = \left( -1 + \frac{1}{4} \right)\vec{m} + \frac{1}{4}\vec{n}\) \(\vec{AO} = \left( -\frac{4}{4} + \frac{1}{4} \right)\vec{m} + \frac{1}{4}\vec{n}\) \(\vec{AO} = -\frac{3}{4}\vec{m} + \frac{1}{4}\vec{n}\). 5. Запишем коэффициенты в виде десятичных дробей: \(-\frac{3}{4} = -0.75\) \(\frac{1}{4} = 0.25\) Таким образом, \(\vec{AO} = -0.75\vec{m} + 0.25\vec{n}\). Ответ: \(\vec{AO} = 0.25\vec{n} - 0.75\vec{m}\)