Решение задач Вариант 2: Контрольная работа №1 по геометрии

Вот решение задач из Варианта №2. Контрольная работа №1 «Точки, длина отрезка» Вариант №2 1. Среди точек \(A(0; -1; 0)\), \(B(0; 1; -3)\), \(C(4; 0; 0)\), \(D(0; 0; 5)\), \(E(-1; 0; 7)\), \(F(0; 10; 10)\) найдите те, которые принадлежат: а) оси \(Ox\); б) оси \(Oy\); в) плоскости \(Oyz\); г) плоскости \(Oxz\). Решение: Напомним, что: * Точка принадлежит оси \(Ox\), если её координаты \(y\) и \(z\) равны нулю. * Точка принадлежит оси \(Oy\), если её координаты \(x\) и \(z\) равны нулю. * Точка принадлежит оси \(Oz\), если её координаты \(x\) и \(y\) равны нулю. * Точка принадлежит плоскости \(Oxy\), если её координата \(z\) равна нулю. * Точка принадлежит плоскости \(Oyz\), если её координата \(x\) равна нулю. * Точка принадлежит плоскости \(Oxz\), если её координата \(y\) равна нулю. Рассмотрим данные точки: \(A(0; -1; 0)\) \(B(0; 1; -3)\) \(C(4; 0; 0)\) \(D(0; 0; 5)\) \(E(-1; 0; 7)\) \(F(0; 10; 10)\) а) Принадлежат оси \(Ox\) (координаты \(y=0\) и \(z=0\)): Только точка \(C(4; 0; 0)\) удовлетворяет этому условию. Ответ: \(C\). б) Принадлежат оси \(Oy\) (координаты \(x=0\) и \(z=0\)): Точка \(A(0; -1; 0)\) удовлетворяет этому условию. Ответ: \(A\). в) Принадлежат плоскости \(Oyz\) (координата \(x=0\)): Точки \(A(0; -1; 0)\), \(B(0; 1; -3)\), \(D(0; 0; 5)\), \(F(0; 10; 10)\) удовлетворяют этому условию. Ответ: \(A, B, D, F\). г) Принадлежат плоскости \(Oxz\) (координата \(y=0\)): Точки \(C(4; 0; 0)\), \(D(0; 0; 5)\), \(E(-1; 0; 7)\) удовлетворяют этому условию. Ответ: \(C, D, E\). 2. Найдите координаты вектора \(\vec{BA}\), если \(A(8; -9; -4)\), \(B(-5; -2; 7)\). Решение: Чтобы найти координаты вектора \(\vec{BA}\), нужно из координат конца вектора (точки \(A\)) вычесть соответствующие координаты начала вектора (точки \(B\)). Пусть \(A = (x_A; y_A; z_A)\) и \(B = (x_B; y_B; z_B)\). Тогда \(\vec{BA} = (x_A - x_B; y_A - y_B; z_A - z_B)\). Дано: \(A(8; -9; -4)\), \(B(-5; -2; 7)\). \(x_A - x_B = 8 - (-5) = 8 + 5 = 13\) \(y_A - y_B = -9 - (-2) = -9 + 2 = -7\) \(z_A - z_B = -4 - 7 = -11\) Таким образом, \(\vec{BA} = (13; -7; -11)\). Ответ: \(\vec{BA} = (13; -7; -11)\). 3. Найдите длину вектора: а) \(\vec{b}\), если \(\vec{b}(0; -3; 2)\); б) \(\vec{MN}\), если \(M(2; -3; 0)\), \(N(0; 6; -7)\). Решение: а) Длина вектора \(\vec{b}(x; y; z)\) вычисляется по формуле: \(|\vec{b}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\). Дано: \(\vec{b}(0; -3; 2)\). \(|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 2^2}\) \(|\vec{b}| = \sqrt{0 + 9 + 4}\) \(|\vec{b}| = \sqrt{13}\) Ответ: \(|\vec{b}| = \sqrt{13}\). б) Сначала найдем координаты вектора \(\vec{MN}\). Пусть \(M = (x_M; y_M; z_M)\) и \(N = (x_N; y_N; z_N)\). Тогда \(\vec{MN} = (x_N - x_M; y_N - y_M; z_N - z_M)\). Дано: \(M(2; -3; 0)\), \(N(0; 6; -7)\). \(x_N - x_M = 0 - 2 = -2\) \(y_N - y_M = 6 - (-3) = 6 + 3 = 9\) \(z_N - z_M = -7 - 0 = -7\) Таким образом, \(\vec{MN} = (-2; 9; -7)\). Теперь найдем длину вектора \(\vec{MN}\): \(|\vec{MN}| = \sqrt{(-2)^2 + 9^2 + (-7)^2}\) \(|\vec{MN}| = \sqrt{4 + 81 + 49}\) \(|\vec{MN}| = \sqrt{134}\) Ответ: \(|\vec{MN}| = \sqrt{134}\). 4. Найдите координаты середины вектора \(AB\), если \(A(3; -2; 4)\), \(B(5; 2; -6)\). Решение: Координаты середины отрезка (или вектора) \(AB\) с концами в точках \(A(x_A; y_A; z_A)\) и \(B(x_B; y_B; z_B)\) вычисляются по формуле: \(C_x = \frac{x_A + x_B}{2}\) \(C_y = \frac{y_A + y_B}{2}\) \(C_z = \frac{z_A + z_B}{2}\) Дано: \(A(3; -2; 4)\), \(B(5; 2; -6)\). \(C_x = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\) \(C_y = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0\) \(C_z = \frac{4 + (-6)}{2} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1\) Координаты середины вектора \(AB\) - это точка \(C(4; 0; -1)\). Ответ: \((4; 0; -1)\).