Решение задачи: Выражение вектора HE через векторы x и y

Решим задачу по векторам. Условие задачи: Дан треугольник EFG, в котором проведена средняя линия HI. Введены обозначения: \(\vec{HI} = \vec{x}\) и \(\vec{HF} = \vec{y}\). Выразите вектор \(\vec{HE}\) через векторы \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\). Решение: 1. По определению средней линии треугольника, средняя линия соединяет середины двух сторон треугольника и параллельна третьей стороне, а её длина равна половине длины этой третьей стороны. В данном случае HI – средняя линия. Из рисунка видно, что H лежит на стороне FG, а I лежит на стороне EG. Значит, H – середина FG, а I – середина EG. Также, средняя линия HI параллельна стороне EF, и \(HI = \frac{1}{2} EF\). Из этого следует, что вектор \(\vec{HI}\) параллелен вектору \(\vec{EF}\) и имеет то же направление, если смотреть от I к H, или противоположное, если смотреть от H к I. Поскольку \(\vec{HI} = \vec{x}\), то \(\vec{EF} = 2\vec{HI}\) или \(\vec{EF} = -2\vec{HI}\) в зависимости от направления. На рисунке вектор \(\vec{x}\) направлен от H к I. Вектор \(\vec{EF}\) направлен от E к F. Так как HI \(\parallel\) EF, и I – середина EG, H – середина FG, то \(\vec{EF}\) и \(\vec{HI}\) сонаправлены. Следовательно, \(\vec{EF} = 2\vec{HI} = 2\vec{x}\). 2. Нам нужно выразить вектор \(\vec{HE}\). Рассмотрим треугольник HFE. По правилу сложения векторов (правило треугольника), \(\vec{HE} = \vec{HF} + \vec{FE}\). Мы знаем, что \(\vec{HF} = \vec{y}\). Также мы знаем, что \(\vec{EF} = 2\vec{x}\). Тогда \(\vec{FE} = -\vec{EF} = -2\vec{x}\). 3. Подставим эти значения в выражение для \(\vec{HE}\): \(\vec{HE} = \vec{y} + (-2\vec{x})\) \(\vec{HE} = \vec{y} - 2\vec{x}\). 4. Среди предложенных вариантов ответов нужно найти соответствующий. Варианты: * \(\vec{x} + \vec{y}\) * \(2\vec{x} + \vec{y}\) * \(2\vec{x} - \vec{y}\) * \(-\left(\vec{x} + \vec{y}\right)\) Наш результат \(\vec{y} - 2\vec{x}\) не совпадает ни с одним из них напрямую. Давайте перепроверим направление векторов. На рисунке: \(\vec{HI}\) направлен от H к I. \(\vec{HF}\) направлен от H к F. \(\vec{HE}\) направлен от H к E. Если HI – средняя линия, то I – середина EG, H – середина FG. Тогда \(\vec{EF} = 2\vec{HI}\) (векторы сонаправлены). \(\vec{EF} = 2\vec{x}\). Рассмотрим треугольник EHF. \(\vec{HE} = \vec{HF} + \vec{FE}\). \(\vec{HF} = \vec{y}\). \(\vec{FE} = -\vec{EF} = -2\vec{x}\). \(\vec{HE} = \vec{y} - 2\vec{x}\). Возможно, в вариантах ответа есть опечатка или я неправильно интерпретировал рисунок. Давайте попробуем выразить \(\vec{HE}\) другим способом. \(\vec{HE} = \vec{HG} + \vec{GE}\). \(\vec{HG} = -\vec{HF} = -\vec{y}\) (так как H – середина FG, то \(\vec{HF} = \vec{HG}\) по длине, но противоположны по направлению, если F, H, G лежат на одной прямой). Но H – середина FG, значит \(\vec{FG} = 2\vec{HG}\) или \(\vec{FG} = 2\vec{HF}\) (если F, H, G в таком порядке). На рисунке H находится между F и G. Значит \(\vec{FG} = \vec{FH} + \vec{HG}\). \(\vec{HF} = \vec{y}\), значит \(\vec{FH} = -\vec{y}\). Так как H – середина FG, то \(\vec{FH} = \vec{HG}\). Значит \(\vec{HG} = -\vec{y}\). Теперь рассмотрим \(\vec{GE}\). I – середина EG. Значит \(\vec{GE} = 2\vec{GI}\). Также \(\vec{GE} = \vec{GI} + \vec{IE}\). \(\vec{GI} = -\vec{IG}\). \(\vec{IE} = -\vec{EI}\). Давайте вернемся к первому способу, он более прямой. \(\vec{HE} = \vec{HF} + \vec{FE}\). \(\vec{HF} = \vec{y}\). \(\vec{FE} = -\vec{EF}\). Так как HI – средняя линия, то \(\vec{EF} = 2\vec{HI}\). \(\vec{HI} = \vec{x}\). Значит, \(\vec{EF} = 2\vec{x}\). Тогда \(\vec{FE} = -2\vec{x}\). Подставляем: \(\vec{HE} = \vec{y} + (-2\vec{x}) = \vec{y} - 2\vec{x}\). Проверим варианты ответа еще раз. Возможно, я неправильно прочитал один из вариантов. * \(\vec{x} + \vec{y}\) * \(2\vec{x} + \vec{y}\) * \(2\vec{x} - \vec{y}\) * \(-\left(\vec{x} + \vec{y}\right)\) Мой ответ \(\vec{y} - 2\vec{x}\) можно записать как \(-2\vec{x} + \vec{y}\). Ни один из предложенных вариантов не совпадает с \(-2\vec{x} + \vec{y}\). Давайте предположим, что вектор \(\vec{x}\) на рисунке обозначает \(\vec{IH}\) вместо \(\vec{HI}\). Если \(\vec{x} = \vec{IH}\), тогда \(\vec{HI} = -\vec{x}\). Тогда \(\vec{EF} = 2\vec{HI} = 2(-\vec{x}) = -2\vec{x}\). И \(\vec{FE} = -\vec{EF} = -(-2\vec{x}) = 2\vec{x}\). Тогда \(\vec{HE} = \vec{HF} + \vec{FE} = \vec{y} + 2\vec{x}\). Этот вариант \(\vec{y} + 2\vec{x}\) или \(2\vec{x} + \vec{y}\) есть среди предложенных ответов. На рисунке стрелка для \(\vec{x}\) идет от H к I. Это означает, что \(\vec{x} = \vec{HI}\). Стрелка для \(\vec{y}\) идет от H к F. Это означает, что \(\vec{y} = \vec{HF}\). Мой первоначальный вывод \(\vec{HE} = \vec{y} - 2\vec{x}\) верен при такой интерпретации. Давайте внимательно посмотрим на рисунок и обозначения. \(\vec{HI} = \vec{x}\) (стрелка от H к I) \(\vec{HF} = \vec{y}\) (стрелка от H к F) HI – средняя линия. Значит, I – середина EG, H – середина FG. Вектор \(\vec{EF}\) параллелен \(\vec{HI}\) и в два раза длиннее. Направление \(\vec{EF}\) совпадает с направлением \(\vec{HI}\). Значит, \(\vec{EF} = 2\vec{HI} = 2\vec{x}\). Нам нужно найти \(\vec{HE}\). Используем правило треугольника для \(\triangle HFE\): \(\vec{HE} = \vec{HF} + \vec{FE}\). Мы знаем \(\vec{HF} = \vec{y}\). Вектор \(\vec{FE}\) противоположен вектору \(\vec{EF}\). \(\vec{FE} = -\vec{EF} = -(2\vec{x}) = -2\vec{x}\). Подставляем в формулу для \(\vec{HE}\): \(\vec{HE} = \vec{y} + (-2\vec{x})\) \(\vec{HE} = \vec{y} - 2\vec{x}\). Если ни один из вариантов не совпадает, возможно, есть ошибка в задаче или в вариантах ответа. Однако, если мы предположим, что \(\vec{x}\) на рисунке обозначает \(\vec{IH}\) (то есть стрелка на рисунке указывает на направление, противоположное вектору \(\vec{x}\) в тексте), то: Если \(\vec{x}\) в тексте означает \(\vec{IH}\), то \(\vec{HI} = -\vec{x}\). Тогда \(\vec{EF} = 2\vec{HI} = 2(-\vec{x}) = -2\vec{x}\). И \(\vec{FE} = -\vec{EF} = -(-2\vec{x}) = 2\vec{x}\). Тогда \(\vec{HE} = \vec{HF} + \vec{FE} = \vec{y} + 2\vec{x}\). Этот вариант \(2\vec{x} + \vec{y}\) есть среди предложенных. Учитывая, что это задача с выбором ответа, и один из вариантов совпадает с результатом при небольшой корректировке интерпретации обозначений (что стрелка на рисунке для \(\vec{x}\) указывает на \(\vec{HI}\), но сам вектор \(\vec{x}\) в тексте может быть \(\vec{IH}\)), то, скорее всего, подразумевается именно этот вариант. Однако, по строгому прочтению условия \(\vec{HI} = \vec{x}\) и рисунка, где стрелка \(\vec{x}\) идет от H к I, мой первый вывод \(\vec{HE} = \vec{y} - 2\vec{x}\) является правильным. Давайте еще раз проверим, нет ли другого способа получить один из предложенных ответов. Рассмотрим \(\vec{HE}\) как \(\vec{HG} + \vec{GE}\). H – середина FG. \(\vec{HF} = \vec{y}\). Значит \(\vec{HG} = -\vec{y}\) (если F, H, G лежат на одной прямой и H между F и G). I – середина EG. \(\vec{HI} = \vec{x}\). Вектор \(\vec{GE}\) можно выразить через \(\vec{GI}\) или \(\vec{IE}\). \(\vec{GE} = 2\vec{GI}\). \(\vec{GI} = \vec{GH} + \vec{HI}\). \(\vec{GH} = -\vec{HG} = -(-\vec{y}) = \vec{y}\). \(\vec{GI} = \vec{y} + \vec{x}\). Тогда \(\vec{GE} = 2(\vec{y} + \vec{x}) = 2\vec{y} + 2\vec{x}\). Теперь подставим в \(\vec{HE} = \vec{HG} + \vec{GE}\): \(\vec{HE} = -\vec{y} + (2\vec{y} + 2\vec{x})\) \(\vec{HE} = -\vec{y} + 2\vec{y} + 2\vec{x}\) \(\vec{HE} = \vec{y} + 2\vec{x}\). Вот! Этот способ дает \(\vec{HE} = 2\vec{x} + \vec{y}\), который является одним из вариантов ответа. Значит, моя первоначальная интерпретация \(\vec{FE} = -2\vec{x}\) была верной, но я ошибся в направлении \(\vec{HG}\) или \(\vec{GI}\). Давайте еще раз проверим: 1. H – середина FG. \(\vec{HF} = \vec{y}\). Значит, \(\vec{HG}\) имеет ту же длину, что и \(\vec{HF}\), но направлен в противоположную сторону, если F, H, G лежат на одной прямой. То есть \(\vec{HG} = -\vec{HF} = -\vec{y}\). Это верно. 2. I – середина EG. 3. \(\vec{HI} = \vec{x}\). 4. Нам нужно найти \(\vec{HE}\). Используем правило треугольника: \(\vec{HE} = \vec{HG} + \vec{GE}\). Мы знаем \(\vec{HG} = -\vec{y}\). Теперь найдем \(\vec{GE}\). Вектор \(\vec{GE}\) можно выразить через \(\vec{GI}\). Так как I – середина EG, то \(\vec{GE} = 2\vec{GI}\). Найдем \(\vec{GI}\) из треугольника HGI: \(\vec{GI} = \vec{GH} + \vec{HI}\). \(\vec{GH} = -\vec{HG} = -(-\vec{y}) = \vec{y}\). \(\vec{HI} = \vec{x}\). Значит, \(\vec{GI} = \vec{y} + \vec{x}\). Теперь подставим это в выражение для \(\vec{GE}\): \(\vec{GE} = 2(\vec{y} + \vec{x}) = 2\vec{y} + 2\vec{x}\). Наконец, подставим \(\vec{HG}\) и \(\vec{GE}\) в формулу для \(\vec{HE}\): \(\vec{HE} = \vec{HG} + \vec{GE} = -\vec{y} + (2\vec{y} + 2\vec{x})\) \(\vec{HE} = -\vec{y} + 2\vec{y} + 2\vec{x}\) \(\vec{HE} = \vec{y} + 2\vec{x}\). Таким образом, правильный ответ: \(\vec{HE} = 2\vec{x} + \vec{y}\). Ответ: \(2\vec{x} + \vec{y}\)