Разложение вектора KB по векторам a и b в параллелограмме

Решение задачи: Дано: ABCD — параллелограмм. \(DK : KC = 1 : 3\). Вектор \(\vec{AD} = \vec{a}\). Вектор \(\vec{AB} = \vec{b}\). Требуется разложить вектор \(\vec{KB}\) по векторам \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). 1. Поскольку ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны параллельны и равны по длине. Также, векторы, направленные вдоль этих сторон, будут равны или противоположны. Следовательно, \(\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{a}\) и \(\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{b}\). 2. Точка K лежит на стороне DC. Отношение \(DK : KC = 1 : 3\) означает, что отрезок DC разделён на \(1+3=4\) равные части, причём DK составляет 1 часть, а KC — 3 части. Тогда \(\vec{DK} = \frac{1}{4} \vec{DC}\). Так как \(\vec{DC} = \vec{b}\), то \(\vec{DK} = \frac{1}{4} \vec{b}\). 3. Теперь выразим вектор \(\vec{KB}\). Мы можем представить вектор \(\vec{KB}\) как сумму векторов, используя правило треугольника. Например, \(\vec{KB} = \vec{KD} + \vec{DB}\). Или \(\vec{KB} = \vec{KC} + \vec{CB}\). Или \(\vec{KB} = \vec{KA} + \vec{AB}\). Или \(\vec{KB} = \vec{KD} + \vec{DA} + \vec{AB}\). Давайте воспользуемся путём \(\vec{KB} = \vec{KD} + \vec{DA} + \vec{AB}\). Мы знаем, что \(\vec{KD} = -\vec{DK}\). Значит, \(\vec{KD} = -\frac{1}{4} \vec{b}\). Мы знаем, что \(\vec{DA} = -\vec{AD}\). Значит, \(\vec{DA} = -\vec{a}\). И \(\vec{AB} = \vec{b}\). Подставляем эти значения в выражение для \(\vec{KB}\): \(\vec{KB} = -\frac{1}{4} \vec{b} - \vec{a} + \vec{b}\). 4. Приведём подобные слагаемые: \(\vec{KB} = -\vec{a} + \left(1 - \frac{1}{4}\right) \vec{b}\). \(\vec{KB} = -\vec{a} + \left(\frac{4}{4} - \frac{1}{4}\right) \vec{b}\). \(\vec{KB} = -\vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}\). 5. Запишем коэффициенты в десятичных дробях, как требуется в задании. Коэффициент перед \(\vec{a}\) равен \(-1\). Коэффициент перед \(\vec{b}\) равен \(\frac{3}{4} = 0.75\). Ответ: \(\vec{KB} = -1 \vec{a} + 0.75 \vec{b}\). Вставьте полученные коэффициенты: \(\vec{KB} = \underline{-1} \vec{a} + \underline{0.75} \vec{b}\).