Задача 5. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем — 0,7. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
Решение:
Обозначим:
- \(P_1\) — вероятность уничтожения цели при первом выстреле. По условию, \(P_1 = 0,3\).
- \(P_2\) — вероятность уничтожения цели при каждом последующем выстреле. По условию, \(P_2 = 0,7\).
- \(Q_1\) — вероятность того, что цель НЕ будет уничтожена при первом выстреле.
- \(Q_2\) — вероятность того, что цель НЕ будет уничтожена при каждом последующем выстреле.
Найдем вероятности того, что цель НЕ будет уничтожена:
- \(Q_1 = 1 - P_1 = 1 - 0,3 = 0,7\).
- \(Q_2 = 1 - P_2 = 1 - 0,7 = 0,3\).
Нам нужно найти минимальное количество выстрелов \(n\), при котором общая вероятность уничтожения цели будет не менее 0,98.
Удобнее рассмотреть вероятность того, что цель НЕ будет уничтожена после \(n\) выстрелов, и вычесть её из 1. Пусть \(P_{уничтожения}(n)\) — вероятность уничтожения цели после \(n\) выстрелов, а \(Q_{неуничтожения}(n)\) — вероятность того, что цель НЕ будет уничтожена после \(n\) выстрелов.
Тогда \(P_{уничтожения}(n) = 1 - Q_{неуничтожения}(n)\).
Нам нужно, чтобы \(P_{уничтожения}(n) \ge 0,98\).
Это эквивалентно \(1 - Q_{неуничтожения}(n) \ge 0,98\).
Или \(Q_{неуничтожения}(n) \le 1 - 0,98\).
То есть \(Q_{неуничтожения}(n) \le 0,02\).
Рассмотрим вероятность того, что цель НЕ будет уничтожена после \(n\) выстрелов:
- Если сделан 1 выстрел, и цель не уничтожена, то вероятность этого \(Q_1 = 0,7\).
- Если сделано 2 выстрела, и цель не уничтожена, это означает, что она не была уничтожена ни первым, ни вторым выстрелом. Вероятность этого: \(Q_1 \cdot Q_2 = 0,7 \cdot 0,3 = 0,21\).
- Если сделано 3 выстрела, и цель не уничтожена, это означает, что она не была уничтожена ни первым, ни вторым, ни третьим выстрелом. Вероятность этого: \(Q_1 \cdot Q_2 \cdot Q_2 = 0,7 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,7 \cdot (0,3)^2 = 0,063\).
- Если сделано \(n\) выстрелов, и цель не уничтожена, то вероятность этого: \(Q_{неуничтожения}(n) = Q_1 \cdot (Q_2)^{n-1}\).
Теперь подставим значения и будем искать \(n\):
\(0,7 \cdot (0,3)^{n-1} \le 0,02\)
Разделим обе части неравенства на 0,7:
\((0,3)^{n-1} \le \frac{0,02}{0,7}\)
\((0,3)^{n-1} \le \frac{2}{70}\)
\((0,3)^{n-1} \le \frac{1}{35}\)
Теперь будем подставлять значения \(n\) и проверять неравенство:
- При \(n=1\):
\(Q_{неуничтожения}(1) = 0,7\). Это больше 0,02.
\(P_{уничтожения}(1) = 1 - 0,7 = 0,3\). Это меньше 0,98.
- При \(n=2\):
\(Q_{неуничтожения}(2) = 0,7 \cdot 0,3 = 0,21\). Это больше 0,02.
\(P_{уничтожения}(2) = 1 - 0,21 = 0,79\). Это меньше 0,98.
- При \(n=3\):
\(Q_{неуничтожения}(3) = 0,7 \cdot (0,3)^2 = 0,7 \cdot 0,09 = 0,063\). Это больше 0,02.
\(P_{уничтожения}(3) = 1 - 0,063 = 0,937\). Это меньше 0,98.
- При \(n=4\):
\(Q_{неуничтожения}(4) = 0,7 \cdot (0,3)^3 = 0,7 \cdot 0,027 = 0,0189\). Это меньше или равно 0,02.
\(P_{уничтожения}(4) = 1 - 0,0189 = 0,9811\). Это больше или равно 0,98.
Таким образом, при 4 выстрелах вероятность уничтожения цели становится не менее 0,98.
Ответ: 4 выстрела.