1. Найдите корень уравнения \(2^{4-2x} = 64\).
Решение:
Для начала представим число 64 как степень числа 2:
\[64 = 2^6\]
Теперь наше уравнение выглядит так:
\[2^{4-2x} = 2^6\]
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
\[4-2x = 6\]
Перенесем 4 в правую часть уравнения, изменив знак:
\[-2x = 6 - 4\]
\[-2x = 2\]
Разделим обе части уравнения на -2:
\[x = \frac{2}{-2}\]
\[x = -1\]
Ответ: \(-1\)
2. Найдите корень уравнения \(5^{x-7} = \frac{1}{125}\).
Решение:
Представим число \(\frac{1}{125}\) как степень числа 5. Мы знаем, что \(125 = 5^3\). Тогда:
\[\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}\]
Теперь наше уравнение выглядит так:
\[5^{x-7} = 5^{-3}\]
Приравниваем показатели степеней:
\[x-7 = -3\]
Перенесем -7 в правую часть уравнения, изменив знак:
\[x = -3 + 7\]
\[x = 4\]
Ответ: \(4\)
3. Найдите корень уравнения \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x-8} = \frac{1}{9}\).
Решение:
Представим число \(\frac{1}{9}\) как степень числа \(\frac{1}{3}\). Мы знаем, что \(9 = 3^2\). Тогда:
\[\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = \left(\frac{1}{3}\right)^2\]
Теперь наше уравнение выглядит так:
\[\left(\frac{1}{3}\right)^{x-8} = \left(\frac{1}{3}\right)^2\]
Приравниваем показатели степеней:
\[x-8 = 2\]
Перенесем -8 в правую часть уравнения, изменив знак:
\[x = 2 + 8\]
\[x = 10\]
Ответ: \(10\)
4. Найдите корень уравнения \(\left(\frac{1}{2}\right)^{6-2x} = 4\).
Решение:
Представим число 4 как степень числа \(\frac{1}{2}\). Мы знаем, что \(4 = 2^2\). Также \(\frac{1}{2} = 2^{-1}\). Тогда:
\[4 = 2^2 = (2^{-1})^{-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\]
Теперь наше уравнение выглядит так:
\[\left(\frac{1}{2}\right)^{6-2x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\]
Приравниваем показатели степеней:
\[6-2x = -2\]
Перенесем 6 в правую часть уравнения, изменив знак:
\[-2x = -2 - 6\]
\[-2x = -8\]
Разделим обе части уравнения на -2:
\[x = \frac{-8}{-2}\]
\[x = 4\]
Ответ: \(4\)
5. Найдите корень уравнения \(16^{x-9} = \frac{1}{2}\).
Решение:
Представим числа 16 и \(\frac{1}{2}\) как степени числа 2:
\[16 = 2^4\]
\[\frac{1}{2} = 2^{-1}\]
Теперь наше уравнение выглядит так:
\[(2^4)^{x-9} = 2^{-1}\]
Используем свойство степеней \((a^m)^n = a^{mn}\):
\[2^{4(x-9)} = 2^{-1}\]
\[2^{4x-36} = 2^{-1}\]
Приравниваем показатели степеней:
\[4x-36 = -1\]
Перенесем -36 в правую часть уравнения, изменив знак:
\[4x = -1 + 36\]
\[4x = 35\]
Разделим обе части уравнения на 4:
\[x = \frac{35}{4}\]
\[x = 8.75\]
Ответ: \(8.75\)
6. Найдите корень уравнения \(\left(\frac{1}{9}\right)^{x-13} = 3\).
Решение:
Представим числа \(\frac{1}{9}\) и 3 как степени числа 3:
\[\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}\]
\[3 = 3^1\]
Теперь наше уравнение выглядит так:
\[(3^{-2})^{x-13} = 3^1\]
Используем свойство степеней \((a^m)^n = a^{mn}\):
\[3^{-2(x-13)} = 3^1\]
\[3^{-2x+26} = 3^1\]
Приравниваем показатели степеней:
\[-2x+26 = 1\]
Перенесем 26 в правую часть уравнения, изменив знак:
\[-2x = 1 - 26\]
\[-2x = -25\]
Разделим обе части уравнения на -2:
\[x = \frac{-25}{-2}\]
\[x = 12.5\]
Ответ: \(12.5\)
7. Найдите корень уравнения: \(9^{-5+x} = 729\).
Решение:
Представим число 729 как степень числа 9:
\[729 = 9^3\]
Теперь наше уравнение выглядит так:
\[9^{-5+x} = 9^3\]
Приравниваем показатели степеней:
\[-5+x = 3\]
Перенесем -5 в правую часть уравнения, изменив знак:
\[x = 3 + 5\]
\[x = 8\]
Ответ: \(8\)
8. Найдите корень уравнения: \(\left(\frac{1}{8}\right)^{-3+x} = 512\).
Решение:
Представим числа \(\frac{1}{8}\) и 512 как степени числа 8:
\[\frac{1}{8} = 8^{-1}\]
\[512 = 8^3\]
Теперь наше уравнение выглядит так:
\[(8^{-1})^{-3+x} = 8^3\]
Используем свойство степеней \((a^m)^n = a^{mn}\):
\[8^{-1(-3+x)} = 8^3\]
\[8^{3-x} = 8^3\]
Приравниваем показатели степеней:
\[3-x = 3\]
Перенесем 3 в правую часть уравнения, изменив знак:
\[-x = 3 - 3\]
\[-x = 0\]
\[x = 0\]
Ответ: \(0\)