Вычисление определителя (Билет №1): Решение

Вот решения задач из Билета №1, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Билет №1 1. Вычислить определитель \[ \begin{vmatrix} 0 & -23 & 1 \\ 2 & 0 & -5 \\ 5 & -2 & 1 \end{vmatrix} \] Решение: Для вычисления определителя третьего порядка воспользуемся правилом Саррюса или разложением по строке/столбцу. Разложим по первой строке: \[ \begin{vmatrix} 0 & -23 & 1 \\ 2 & 0 & -5 \\ 5 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -5 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - (-23) \cdot \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 5 & -2 \end{vmatrix} \] \[ = 0 \cdot (0 \cdot 1 - (-5) \cdot (-2)) + 23 \cdot (2 \cdot 1 - (-5) \cdot 5) + 1 \cdot (2 \cdot (-2) - 0 \cdot 5) \] \[ = 0 \cdot (0 - 10) + 23 \cdot (2 - (-25)) + 1 \cdot (-4 - 0) \] \[ = 0 + 23 \cdot (2 + 25) + 1 \cdot (-4) \] \[ = 23 \cdot 27 - 4 \] Вычислим \(23 \cdot 27\): \(23 \cdot 27 = 23 \cdot (20 + 7) = 23 \cdot 20 + 23 \cdot 7 = 460 + 161 = 621\) \[ = 621 - 4 = 617 \] Ответ: \(617\) 2. Найти угол между прямыми \(2x - 5y + 4 = 0\) и \(5x + 2y - 10 = 0\). Сделать чертёж. Решение: Угол между двумя прямыми \(A_1x + B_1y + C_1 = 0\) и \(A_2x + B_2y + C_2 = 0\) можно найти по формуле: \[ \cos \alpha = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2}} \] Для первой прямой \(L_1: 2x - 5y + 4 = 0\), имеем \(A_1 = 2\), \(B_1 = -5\). Для второй прямой \(L_2: 5x + 2y - 10 = 0\), имеем \(A_2 = 5\), \(B_2 = 2\). Подставим значения в формулу: \[ \cos \alpha = \frac{|2 \cdot 5 + (-5) \cdot 2|}{\sqrt{2^2 + (-5)^2} \cdot \sqrt{5^2 + 2^2}} \] \[ \cos \alpha = \frac{|10 - 10|}{\sqrt{4 + 25} \cdot \sqrt{25 + 4}} \] \[ \cos \alpha = \frac{|0|}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{29}} \] \[ \cos \alpha = \frac{0}{29} = 0 \] Если \(\cos \alpha = 0\), то \(\alpha = 90^\circ\) или \(\alpha = \frac{\pi}{2}\) радиан. Это означает, что прямые перпендикулярны. Проверим условие перпендикулярности прямых: \(A_1A_2 + B_1B_2 = 0\). \(2 \cdot 5 + (-5) \cdot 2 = 10 - 10 = 0\). Условие выполняется, прямые перпендикулярны. Для построения чертежа найдем по две точки для каждой прямой. Прямая \(L_1: 2x - 5y + 4 = 0\) Если \(x = 0\), то \(-5y + 4 = 0 \Rightarrow 5y = 4 \Rightarrow y = \frac{4}{5} = 0.8\). Точка \((0; 0.8)\). Если \(y = 0\), то \(2x + 4 = 0 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2\). Точка \((-2; 0)\). Прямая \(L_2: 5x + 2y - 10 = 0\) Если \(x = 0\), то \(2y - 10 = 0 \Rightarrow 2y = 10 \Rightarrow y = 5\). Точка \((0; 5)\). Если \(y = 0\), то \(5x - 10 = 0 \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x = 2\). Точка \((2; 0)\). Чертёж: (Здесь должен быть чертёж. Нарисуйте координатную плоскость. Отметьте точки \((0; 0.8)\) и \((-2; 0)\) и проведите через них прямую \(L_1\). Отметьте точки \((0; 5)\) и \((2; 0)\) и проведите через них прямую \(L_2\). Убедитесь, что прямые пересекаются под прямым углом.) Ответ: Угол между прямыми равен \(90^\circ\) (или \(\frac{\pi}{2}\) радиан). 3. Найти предел \(\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{2x - 1} - \sqrt{5}}{x - 3}\). Решение: При подстановке \(x = 3\) в выражение получаем неопределенность вида \(\frac{0}{0}\): \(\frac{\sqrt{2 \cdot 3 - 1} - \sqrt{5}}{3 - 3} = \frac{\sqrt{6 - 1} - \sqrt{5}}{0} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{5}}{0} = \frac{0}{0}\). Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к числителю: \[ \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{2x - 1} - \sqrt{5}}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{2x - 1} - \sqrt{5})(\sqrt{2x - 1} + \sqrt{5})}{(x - 3)(\sqrt{2x - 1} + \sqrt{5})} \] Используем формулу разности квадратов \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\): \[ = \lim_{x \to 3} \frac{(2x - 1) - 5}{(x - 3)(\sqrt{2x - 1} + \sqrt{5})} \] \[ = \lim_{x \to 3} \frac{2x - 6}{(x - 3)(\sqrt{2x - 1} + \sqrt{5})} \] Вынесем 2 из числителя: \[ = \lim_{x \to 3} \frac{2(x - 3)}{(x - 3)(\sqrt{2x - 1} + \sqrt{5})} \] Сократим \((x - 3)\), так как \(x \to 3\), но \(x \neq 3\): \[ = \lim_{x \to 3} \frac{2}{\sqrt{2x - 1} + \sqrt{5}} \] Теперь подставим \(x = 3\): \[ = \frac{2}{\sqrt{2 \cdot 3 - 1} + \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{5}} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \] Можно избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{5}\): \[ = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \] Ответ: \(\frac{1}{\sqrt{5}}\) или \(\frac{\sqrt{5}}{5}\). 4. Найти производную функции \(y = (x - 8^x) \cdot \operatorname{tg} 3x\). Решение: Для нахождения производной воспользуемся правилом производной произведения \((uv)' = u'v + uv'\). Здесь \(u = x - 8^x\) и \(v = \operatorname{tg} 3x\). Найдем производную \(u'\): \(u' = (x - 8^x)' = (x)' - (8^x)'\) Производная \(x\) равна 1. Производная \(a^x\) равна \(a^x \ln a\). Значит, \((8^x)' = 8^x \ln 8\). Таким образом, \(u' = 1 - 8^x \ln 8\). Найдем производную \(v'\): \(v' = (\operatorname{tg} 3x)'\) Это сложная функция. Используем правило цепи: \((\operatorname{tg} f(x))' = \frac{1}{\cos^2 f(x)} \cdot f'(x)\). Здесь \(f(x) = 3x\). \(f'(x) = (3x)' = 3\). Таким образом, \(v' = \frac{1}{\cos^2 3x} \cdot 3 = \frac{3}{\cos^2 3x}\). Теперь подставим \(u, u', v, v'\) в формулу \((uv)' = u'v + uv'\): \[ y' = (1 - 8^x \ln 8) \cdot \operatorname{tg} 3x + (x - 8^x) \cdot \frac{3}{\cos^2 3x} \] Можно записать в более компактном виде: \[ y' = \operatorname{tg} 3x (1 - 8^x \ln 8) + \frac{3(x - 8^x)}{\cos^2 3x} \] Ответ: \(y' = (1 - 8^x \ln 8) \operatorname{tg} 3x + \frac{3(x - 8^x)}{\cos^2 3x}\).