6. Найдите корень уравнения \( \left(\frac{1}{9}\right)^{x-13} = 3 \).
Решение:
Перепишем \( \frac{1}{9} \) как \( 9^{-1} \) и \( 3 \) как \( 9^{\frac{1}{2}} \).
Тогда уравнение примет вид:
\[ (9^{-1})^{x-13} = 9^{\frac{1}{2}} \]
\[ 9^{-(x-13)} = 9^{\frac{1}{2}} \]
\[ 9^{-x+13} = 9^{\frac{1}{2}} \]
Так как основания равны, приравниваем показатели степени:
\[ -x+13 = \frac{1}{2} \]
\[ -x = \frac{1}{2} - 13 \]
\[ -x = \frac{1}{2} - \frac{26}{2} \]
\[ -x = -\frac{25}{2} \]
\[ x = \frac{25}{2} \]
\[ x = 12.5 \]
Ответ: \( 12.5 \).
7. Найдите корень уравнения: \( 9^{-5+x} = 729 \).
Решение:
Представим число \( 729 \) как степень числа \( 9 \).
Мы знаем, что \( 9^2 = 81 \) и \( 9^3 = 81 \cdot 9 = 729 \).
Тогда уравнение примет вид:
\[ 9^{-5+x} = 9^3 \]
Так как основания равны, приравниваем показатели степени:
\[ -5+x = 3 \]
\[ x = 3 + 5 \]
\[ x = 8 \]
Ответ: \( 8 \).
8. Найдите корень уравнения:
\[ \left(\frac{1}{8}\right)^{-3+x} = 512 \]
Решение:
Перепишем \( \frac{1}{8} \) как \( 8^{-1} \).
Представим число \( 512 \) как степень числа \( 8 \).
Мы знаем, что \( 8^2 = 64 \) и \( 8^3 = 64 \cdot 8 = 512 \).
Тогда уравнение примет вид:
\[ (8^{-1})^{-3+x} = 8^3 \]
\[ 8^{-(-3+x)} = 8^3 \]
\[ 8^{3-x} = 8^3 \]
Так как основания равны, приравниваем показатели степени:
\[ 3-x = 3 \]
\[ -x = 3 - 3 \]
\[ -x = 0 \]
\[ x = 0 \]
Ответ: \( 0 \).