schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
help_outlineУсловие задачи
lightbulbКраткий ответ
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса включает запись расширенной матрицы и последовательное исключение переменных путем преобразований строк. Это позволяет привести матрицу к ступенчатому виду и найти решение системы.
Подробное решение
Хорошо, давайте решим систему линейных уравнений, которая изображена на доске.
Система уравнений выглядит так:
\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 + 3x_3 = 1 \\
2x_1 + x_2 + x_3 = 3 \\
x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 4
\end{cases}
\]
Будем решать эту систему методом Гаусса.
Шаг 1: Запишем расширенную матрицу системы.
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 & | & 1 \\
2 & 1 & 1 & | & 3 \\
1 & 3 & 2 & | & 4
\end{pmatrix}
\]
Шаг 2: Сделаем так, чтобы под первым элементом первого столбца (который равен 1) были нули.
Вычтем из второй строки первую строку, умноженную на 2 ( \(R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1\) ).
Вычтем из третьей строки первую строку ( \(R_3 \leftarrow R_3 - R_1\) ).
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 & | & 1 \\
2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 3 & | & 3 - 2 \cdot 1 \\
1 - 1 & 3 - 1 & 2 - 3 & | & 4 - 1
\end{pmatrix}
\]
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 & | & 1 \\
0 & -1 & -5 & | & 1 \\
0 & 2 & -1 & | & 3
\end{pmatrix}
\]
Шаг 3: Сделаем так, чтобы под вторым элементом второго столбца (который равен -1) был нуль.
Прибавим к третьей строке вторую строку, умноженную на 2 ( \(R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2\) ).
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 & | & 1 \\
0 & -1 & -5 & | & 1 \\
0 + 2 \cdot 0 & 2 + 2 \cdot (-1) & -1 + 2 \cdot (-5) & | & 3 + 2 \cdot 1
\end{pmatrix}
\]
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 & | & 1 \\
0 & -1 & -5 & | & 1 \\
0 & 0 & -11 & | & 5
\end{pmatrix}
\]
Шаг 4: Теперь у нас получилась треугольная матрица. Запишем соответствующую систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 + 3x_3 = 1 \\
-x_2 - 5x_3 = 1 \\
-11x_3 = 5
\end{cases}
\]
Шаг 5: Решим систему, начиная с последнего уравнения.
Из третьего уравнения:
\( -11x_3 = 5 \)
\( x_3 = -\frac{5}{11} \)
Подставим значение \(x_3\) во второе уравнение:
\( -x_2 - 5x_3 = 1 \)
\( -x_2 - 5 \left(-\frac{5}{11}\right) = 1 \)
\( -x_2 + \frac{25}{11} = 1 \)
\( -x_2 = 1 - \frac{25}{11} \)
\( -x_2 = \frac{11}{11} - \frac{25}{11} \)
\( -x_2 = -\frac{14}{11} \)
\( x_2 = \frac{14}{11} \)
Подставим значения \(x_2\) и \(x_3\) в первое уравнение:
\( x_1 + x_2 + 3x_3 = 1 \)
\( x_1 + \frac{14}{11} + 3 \left(-\frac{5}{11}\right) = 1 \)
\( x_1 + \frac{14}{11} - \frac{15}{11} = 1 \)
\( x_1 - \frac{1}{11} = 1 \)
\( x_1 = 1 + \frac{1}{11} \)
\( x_1 = \frac{11}{11} + \frac{1}{11} \)
\( x_1 = \frac{12}{11} \)
Ответ:
Решением системы являются:
\( x_1 = \frac{12}{11} \)
\( x_2 = \frac{14}{11} \)
\( x_3 = -\frac{5}{11} \)