Решение: Контрольная работа по теме «Отношения и пропорции». Вариант 2

Контрольная работа по теме «Отношения и пропорции». Вариант 2 1. Решить уравнение: а) \[ \frac{2,4}{32} = \frac{0,9}{x} \] Для решения этого уравнения воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. \[ 2,4 \cdot x = 32 \cdot 0,9 \] \[ 2,4x = 28,8 \] Чтобы найти \(x\), разделим 28,8 на 2,4: \[ x = \frac{28,8}{2,4} \] \[ x = 12 \] Ответ: \(x = 12\). б) \[ x : 3\frac{1}{5} = 4\frac{5}{6} : 3\frac{13}{15} \] Сначала переведем смешанные дроби в неправильные: \[ 3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5} \] \[ 4\frac{5}{6} = \frac{4 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{29}{6} \] \[ 3\frac{13}{15} = \frac{3 \cdot 15 + 13}{15} = \frac{45 + 13}{15} = \frac{58}{15} \] Теперь подставим эти значения в уравнение: \[ x : \frac{16}{5} = \frac{29}{6} : \frac{58}{15} \] Запишем пропорцию в виде дробей: \[ \frac{x}{\frac{16}{5}} = \frac{\frac{29}{6}}{\frac{58}{15}} \] Используем основное свойство пропорции: \[ x \cdot \frac{58}{15} = \frac{16}{5} \cdot \frac{29}{6} \] Вычислим произведение в правой части: \[ \frac{16}{5} \cdot \frac{29}{6} = \frac{16 \cdot 29}{5 \cdot 6} = \frac{464}{30} \] Можно сократить дробь на 2: \[ \frac{464}{30} = \frac{232}{15} \] Теперь уравнение выглядит так: \[ x \cdot \frac{58}{15} = \frac{232}{15} \] Чтобы найти \(x\), разделим правую часть на коэффициент при \(x\): \[ x = \frac{232}{15} : \frac{58}{15} \] При делении дробей, первую дробь умножаем на обратную второй: \[ x = \frac{232}{15} \cdot \frac{15}{58} \] Сократим 15: \[ x = \frac{232}{58} \] Выполним деление: \[ x = 4 \] Ответ: \(x = 4\). 2. Из 112 кг железной руды получают 84 кг железа. Сколько килограммов руды необходимо для получения 36 кг железа? Составим пропорцию. Пусть \(x\) кг руды необходимо для получения 36 кг железа. \[ \frac{112 \text{ кг руды}}{84 \text{ кг железа}} = \frac{x \text{ кг руды}}{36 \text{ кг железа}} \] \[ \frac{112}{84} = \frac{x}{36} \] Используем основное свойство пропорции: \[ 112 \cdot 36 = 84 \cdot x \] \[ 4032 = 84x \] Чтобы найти \(x\), разделим 4032 на 84: \[ x = \frac{4032}{84} \] \[ x = 48 \] Ответ: Для получения 36 кг железа необходимо 48 кг руды. 3. Цена товара снизилась с 340 руб. до 323 руб. На сколько процентов снизилась цена товара? Сначала найдем, на сколько рублей снизилась цена: \[ \text{Снижение цены} = 340 \text{ руб.} - 323 \text{ руб.} = 17 \text{ руб.} \] Теперь найдем, какой процент составляет это снижение от первоначальной цены. Для этого составим пропорцию: Пусть 340 руб. — это 100%, а 17 руб. — это \(p\)%. \[ \frac{340}{100} = \frac{17}{p} \] Используем основное свойство пропорции: \[ 340 \cdot p = 100 \cdot 17 \] \[ 340p = 1700 \] Чтобы найти \(p\), разделим 1700 на 340: \[ p = \frac{1700}{340} \] \[ p = 5 \] Ответ: Цена товара снизилась на 5 процентов. 4. После обработки куска дерева его масса уменьшилась с 12,5 кг до 9,4 кг. На сколько процентов уменьшилась масса этого куска дерева? Сначала найдем, на сколько килограммов уменьшилась масса: \[ \text{Уменьшение массы} = 12,5 \text{ кг} - 9,4 \text{ кг} = 3,1 \text{ кг} \] Теперь найдем, какой процент составляет это уменьшение от первоначальной массы. Для этого составим пропорцию: Пусть 12,5 кг — это 100%, а 3,1 кг — это \(p\)%. \[ \frac{12,5}{100} = \frac{3,1}{p} \] Используем основное свойство пропорции: \[ 12,5 \cdot p = 100 \cdot 3,1 \] \[ 12,5p = 310 \] Чтобы найти \(p\), разделим 310 на 12,5: \[ p = \frac{310}{12,5} \] \[ p = 24,8 \] Ответ: Масса куска дерева уменьшилась на 24,8 процентов.