Решение задачи: треугольник KMP и координаты вершин

Решение задачи. Даны координаты вершин треугольника \(KMP\): \(K(-4; 1)\) \(M(-2; 4)\) \(P(0; 1)\) Часть 1. Отметьте верное утверждение. Для того чтобы отметить верное утверждение, нужно найти длины всех сторон треугольника. Формула для нахождения расстояния между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) на плоскости: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] 1. Найдем длину стороны \(KM\): \(K(-4; 1)\), \(M(-2; 4)\) \[ KM = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (4 - 1)^2} \] \[ KM = \sqrt{(-2 + 4)^2 + (3)^2} \] \[ KM = \sqrt{(2)^2 + 9} \] \[ KM = \sqrt{4 + 9} \] \[ KM = \sqrt{13} \] 2. Найдем длину стороны \(MP\): \(M(-2; 4)\), \(P(0; 1)\) \[ MP = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (1 - 4)^2} \] \[ MP = \sqrt{(0 + 2)^2 + (-3)^2} \] \[ MP = \sqrt{(2)^2 + 9} \] \[ MP = \sqrt{4 + 9} \] \[ MP = \sqrt{13} \] 3. Найдем длину стороны \(PK\): \(P(0; 1)\), \(K(-4; 1)\) \[ PK = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (1 - 1)^2} \] \[ PK = \sqrt{(-4)^2 + (0)^2} \] \[ PK = \sqrt{16 + 0} \] \[ PK = \sqrt{16} \] \[ PK = 4 \] Сравниваем длины сторон: \(KM = \sqrt{13}\) \(MP = \sqrt{13}\) \(PK = 4\) Мы видим, что \(KM = MP\). Значит, треугольник \(KMP\) является равнобедренным. Из предложенных вариантов: * \(KM = MP = PK\) (неверно, так как \(PK \neq KM\)) * \(PK = MP\) (неверно, так как \(4 \neq \sqrt{13}\)) * \(KM = PK\) (неверно, так как \(\sqrt{13} \neq 4\)) * \(KM = MP\) (верно, так как \(\sqrt{13} = \sqrt{13}\)) Верное утверждение: \(KM = MP\). Часть 2. Найдите площадь треугольника \(KMP\). Для нахождения площади треугольника по координатам вершин можно использовать формулу: \[ S = \frac{1}{2} |x_K(y_M - y_P) + x_M(y_P - y_K) + x_P(y_K - y_M)| \] Подставим координаты: \(K(-4; 1)\) \(M(-2; 4)\) \(P(0; 1)\) \[ S = \frac{1}{2} |(-4)(4 - 1) + (-2)(1 - 1) + (0)(1 - 4)| \] \[ S = \frac{1}{2} |(-4)(3) + (-2)(0) + (0)(-3)| \] \[ S = \frac{1}{2} |-12 + 0 + 0| \] \[ S = \frac{1}{2} |-12| \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \] \[ S = 6 \] Другой способ найти площадь для равнобедренного треугольника, если одна из сторон лежит на горизонтальной или вертикальной линии. В данном случае сторона \(PK\) лежит на горизонтальной линии \(y=1\). Длина основания \(PK = 4\). Высота треугольника, опущенная из вершины \(M\) на основание \(PK\), будет равна разнице y-координат вершины \(M\) и линии \(PK\). Координата \(y_M = 4\). Координата \(y\) для линии \(PK\) равна \(1\). Высота \(h = |y_M - y_K| = |4 - 1| = 3\). Формула площади треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot PK \cdot h \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \] \[ S = 6 \] Ответ: Верное утверждение: \(KM = MP\). Площадь треугольника \(KMP\) равна 6.