Задача 315.
Даны два набора чисел. Отметьте числа на числовой прямой. Определите на глаз, у какого из наборов рассеивание значений больше. Проверьте ваш глазомер, вычислив и сравнив дисперсии наборов.
а) 2, 3, 4 и 6, 7, 8;
б) 3, 5, 7, 9 и 12, 14, 16, 18.
Решение:
Для каждого набора чисел сначала найдем среднее арифметическое, а затем дисперсию.
Набор а): 2, 3, 4, 6, 7, 8
1. Найдем среднее арифметическое (\(\bar{x}_a\)):
\[\bar{x}_a = \frac{2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8}{6} = \frac{30}{6} = 5\]2. Найдем дисперсию (\(D_a\)):
\[D_a = \frac{(2-5)^2 + (3-5)^2 + (4-5)^2 + (6-5)^2 + (7-5)^2 + (8-5)^2}{6}\] \[D_a = \frac{(-3)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 + (1)^2 + (2)^2 + (3)^2}{6}\] \[D_a = \frac{9 + 4 + 1 + 1 + 4 + 9}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3} \approx 4,67\]Набор б): 3, 5, 7, 9, 12, 14, 16, 18
1. Найдем среднее арифметическое (\(\bar{x}_b\)):
\[\bar{x}_b = \frac{3 + 5 + 7 + 9 + 12 + 14 + 16 + 18}{8} = \frac{84}{8} = 10,5\]2. Найдем дисперсию (\(D_b\)):
\[D_b = \frac{(3-10,5)^2 + (5-10,5)^2 + (7-10,5)^2 + (9-10,5)^2 + (12-10,5)^2 + (14-10,5)^2 + (16-10,5)^2 + (18-10,5)^2}{8}\] \[D_b = \frac{(-7,5)^2 + (-5,5)^2 + (-3,5)^2 + (-1,5)^2 + (1,5)^2 + (3,5)^2 + (5,5)^2 + (7,5)^2}{8}\] \[D_b = \frac{56,25 + 30,25 + 12,25 + 2,25 + 2,25 + 12,25 + 30,25 + 56,25}{8}\] \[D_b = \frac{202,5}{8} = 25,3125\]Сравнение:
Дисперсия набора а) \(D_a \approx 4,67\).
Дисперсия набора б) \(D_b = 25,3125\).
Так как \(D_b > D_a\), то рассеивание значений в наборе б) больше.
Вывод:
На глаз можно было заметить, что числа в наборе б) расположены дальше друг от друга, чем в наборе а). Расчеты подтвердили, что дисперсия набора б) значительно больше, чем дисперсия набора а).
Задача 316.
Анна и Инна тренируются в стрельбе из лука. За один подход каждая делает пять выстрелов: по одному по каждой из пяти мишеней. Результаты 30 подходов собраны в таблицу 56. Найдите среднее и дисперсию результатов каждой девушки. Какой вывод можно сделать по этим данным?
Таблица 56
| Число поражённых мишеней | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|--------------------------|---|---|---|---|---|---|
| Результат Анны | 2 | 15| 6 | 5 | 1 | 1 |
| Результат Инны | 4 | 23| 2 | 1 | 0 | 0 |
Решение:
Для каждой девушки найдем среднее арифметическое (математическое ожидание) и дисперсию.
Результаты Анны:
Общее количество подходов: \(2 + 15 + 6 + 5 + 1 + 1 = 30\).
1. Найдем среднее количество пораженных мишеней (\(\bar{x}_{Анна}\)):
\[\bar{x}_{Анна} = \frac{0 \cdot 2 + 1 \cdot 15 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot 1}{30}\] \[\bar{x}_{Анна} = \frac{0 + 15 + 12 + 15 + 4 + 5}{30} = \frac{51}{30} = 1,7\]2. Найдем дисперсию (\(D_{Анна}\)):
\[D_{Анна} = \frac{(0-1,7)^2 \cdot 2 + (1-1,7)^2 \cdot 15 + (2-1,7)^2 \cdot 6 + (3-1,7)^2 \cdot 5 + (4-1,7)^2 \cdot 1 + (5-1,7)^2 \cdot 1}{30}\] \[D_{Анна} = \frac{(-1,7)^2 \cdot 2 + (-0,7)^2 \cdot 15 + (0,3)^2 \cdot 6 + (1,3)^2 \cdot 5 + (2,3)^2 \cdot 1 + (3,3)^2 \cdot 1}{30}\] \[D_{Анна} = \frac{2,89 \cdot 2 + 0,49 \cdot 15 + 0,09 \cdot 6 + 1,69 \cdot 5 + 5,29 \cdot 1 + 10,89 \cdot 1}{30}\] \[D_{Анна} = \frac{5,78 + 7,35 + 0,54 + 8,45 + 5,29 + 10,89}{30} = \frac{38,3}{30} \approx 1,277\]Результаты Инны:
Общее количество подходов: \(4 + 23 + 2 + 1 + 0 + 0 = 30\).
1. Найдем среднее количество пораженных мишеней (\(\bar{x}_{Инна}\)):
\[\bar{x}_{Инна} = \frac{0 \cdot 4 + 1 \cdot 23 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{30}\] \[\bar{x}_{Инна} = \frac{0 + 23 + 4 + 3 + 0 + 0}{30} = \frac{30}{30} = 1\]2. Найдем дисперсию (\(D_{Инна}\)):
\[D_{Инна} = \frac{(0-1)^2 \cdot 4 + (1-1)^2 \cdot 23 + (2-1)^2 \cdot 2 + (3-1)^2 \cdot 1 + (4-1)^2 \cdot 0 + (5-1)^2 \cdot 0}{30}\] \[D_{Инна} = \frac{(-1)^2 \cdot 4 + (0)^2 \cdot 23 + (1)^2 \cdot 2 + (2)^2 \cdot 1 + (3)^2 \cdot 0 + (4)^2 \cdot 0}{30}\] \[D_{Инна} = \frac{1 \cdot 4 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 9 \cdot 0 + 16 \cdot 0}{30}\] \[D_{Инна} = \frac{4 + 0 + 2 + 4 + 0 + 0}{30} = \frac{10}{30} \approx 0,333\]Вывод:
Среднее количество пораженных мишеней у Анны (\(\bar{x}_{Анна} = 1,7\)) выше, чем у Инны (\(\bar{x}_{Инна} = 1\)). Это означает, что в среднем Анна стреляет точнее.
Дисперсия результатов Анны (\(D_{Анна} \approx 1,277\)) выше, чем дисперсия результатов Инны (\(D_{Инна} \approx 0,333\)). Это означает, что результаты Инны более стабильны и предсказуемы, хотя и ниже по среднему значению. Анна показывает более разнообразные результаты, иногда стреляя очень хорошо (4 и 5 мишеней), но и чаще промахиваясь (0 мишеней).
Таким образом, Анна в среднем стреляет лучше, но ее результаты менее стабильны. Инна стреляет менее точно в среднем, но ее результаты более постоянны.
Задача 317.
В классе поровну юношей и девушек. Средний рост девушек — 166,3 см, а дисперсия роста для девушек — 8,5 см2. Средний рост юношей равен 177,6 см, а дисперсия равна 9,6 см2. Найдите средний рост и дисперсию роста всех учеников в классе. Средний рост округлите до десятых, а дисперсию до сотых.
Решение:
Пусть \(N\) — общее количество учеников в классе. Так как юношей и девушек поровну, то количество девушек \(N_д = N/2\) и количество юношей \(N_ю = N/2\).
Дано:
Средний рост девушек (\(\bar{x}_д\)) = 166,3 см.
Дисперсия роста девушек (\(D_д\)) = 8,5 см2.
Средний рост юношей (\(\bar{x}_ю\)) = 177,6 см.
Дисперсия роста юношей (\(D_ю\)) = 9,6 см2.
1. Найдем средний рост всех учеников в классе (\(\bar{x}\)):
Средний рост всех учеников является средним арифметическим средних ростов девушек и юношей, так как их количество одинаково.
\[\bar{x} = \frac{\bar{x}_д \cdot N_д + \bar{x}_ю \cdot N_ю}{N_д + N_ю} = \frac{\bar{x}_д \cdot N/2 + \bar{x}_ю \cdot N/2}{N/2 + N/2} = \frac{(\bar{x}_д + \bar{x}_ю) \cdot N/2}{N} = \frac{\bar{x}_д + \bar{x}_ю}{2}\] \[\bar{x} = \frac{166,3 + 177,6}{2} = \frac{343,9}{2} = 171,95\]Округляем до десятых: \(\bar{x} \approx 172,0\) см.
2. Найдем дисперсию роста всех учеников в классе (\(D\)):
Для вычисления общей дисперсии, когда данные разбиты на группы, можно использовать формулу:
\[D = \frac{N_д D_д + N_ю D_ю}{N_д + N_ю} + \frac{N_д (\bar{x}_д - \bar{x})^2 + N_ю (\bar{x}_ю - \bar{x})^2}{N_д + N_ю}\]Так как \(N_д = N_ю = N/2\), формула упрощается:
\[D = \frac{D_д + D_ю}{2} + \frac{(\bar{x}_д - \bar{x})^2 + (\bar{x}_ю - \bar{x})^2}{2}\]Сначала вычислим квадраты отклонений средних значений групп от общего среднего:
\[(\bar{x}_д - \bar{x})^2 = (166,3 - 171,95)^2 = (-5,65)^2 = 31,9225\] \[(\bar{x}_ю - \bar{x})^2 = (177,6 - 171,95)^2 = (5,65)^2 = 31,9225\]Теперь подставим значения в формулу для дисперсии:
\[D = \frac{8,5 + 9,6}{2} + \frac{31,9225 + 31,9225}{2}\] \[D = \frac{18,1}{2} + \frac{63,845}{2}\] \[D = 9,05 + 31,9225\] \[D = 40,9725\]Округляем до сотых: \(D \approx 40,97\) см2.
Ответ:
Средний рост всех учеников в классе составляет примерно 172,0 см.
Дисперсия роста всех учеников в классе составляет примерно 40,97 см2.